今天内容為答疑篇，回複一位同學關于三餘弦定理的咨詢。

首先需要說明一下，三餘弦定理不是高中階段所要求的内容，不了解也不妨礙做題，但知道一些總是好的，三餘弦定理的相關内容之前給出過，在立體幾何中求異面直線夾角餘弦值的那篇中實際上已經給出了三餘弦定理的應用，隻是當時沒有擴展開，隻是用三餘弦定理求異面直線夾角，鍊接如下：

思維訓練10.投影法求異面直線之間的夾角

1.三餘弦定理的基礎知識

三餘弦指的是空間中的三個角的餘弦值，在上方鍊接投影法求一面直線夾角中，三個角分别為直線l1與特定平面所成的夾角θ1,直線l2與特定平面所成夾角θ2，兩條直線在特定平面上投影的夾角為α，此時兩條異面直線的夾角餘弦值公式為：

cosX=cosαcosθ1cosθ2 sinθ1sinθ2，關于該公式的證明自己查看上述鍊接即可。

在這個異面直線夾角餘弦值的公式中，兩條直線異面且不在同一個特定平面内，若其中一條直線不在平面内且另外一條直線在平面内，此時在平面内的那條直線與平面的夾角θ2就是0，所以正弦值也為0，餘弦值為1，此時公式為cosX=cosαcosθ1，這就是典型的三餘弦定理的公式，一定要知道該公式是怎麼來的，圖示如下圖所示：

從公式中知道需要有三條線，這三條線形成三個角，三個角又形成三個面，我們求的就是與這三個角有關的内容，這三條線分别為平面内的一條線，平面外的一條線與該直線在平面内的射影，這麼一看是不是和三垂線定理一樣，沒錯，如果把平面内的一條直線與平面外直線的射影垂直，那麼利用這個公式就能判定斜線和平面内的直線夾角為90°。

2.三餘弦定理在求直線夾角中的應用

這個公式更多應用在求異面直線夾角的餘弦值當中，在同一個面中直接利用三角函數求更容易，因此三餘弦定理在高中立體幾何中的應用更多體現在異面直線夾角和所推廣開的二面角中，有關三餘弦定理在異面直線中的應用可參考鍊接中的這個典型題目：

例1：如下圖中正方體中，點M是棱DD1的中點，點O為底面ABCD的中心，點P為棱A1B1上任意一點，求直線OP與直線AM之間所成角的餘弦值

解析：點P為A1B1上運動，無論點P在哪個位置，OP在左側面上的投影均為O'A1,此時發現AM和O'A1之間的夾角為90°，所以此時直線OP和AM所成角的餘弦值就等于OP與左側面夾角的餘弦值，考慮到AM就在左側面上，所以AM與左側面的夾角為0，正弦值也為0，所以可知異面直線OP和AM之間夾角的餘弦值等于0，所以兩條直線的夾角為90°。

第二題是一道看似簡單但很容易做錯的題目，根據已知的條件，AB=√3,BC’=4,在三角形ABC'中直接利用餘弦定理可得到：

但AC'取得最大值時∠ABC'為0°，這是不可能的，題目中平面BEC'⊥平面ABED,BC'在底面上的投影為BE，利用三餘弦公式可知cos∠ABC'=cos∠EBC'cos∠ABE,且角∠EBC'和∠ABE的和正好為90°，因此設∠EBC'=α，∠ABE=90°-α，而且還能知道α的範圍為(0,60°)，這樣就可通過三餘弦定理将一個不确定範圍的角度轉化為一個确定範圍的角度，進而求出最值，過程如下：

3.三餘弦定理在求線面角中的應用

從上面第二題能看出，三餘弦定理有局限，因為它需要确切的直線投影，所以題目中要出現必要的垂直關系，因此三餘弦定理在線面角中的應用也很有局限性，以下面一個題目為例說明一下：

當然這個題目很簡單，不用三餘弦定理反而更容易求，無論是利用等體積法先求正弦值再求餘弦值或者直接找出線面角的平面角都很容易，但若非要往三餘弦定理上硬靠，其實就是先确定出平面角，用三餘弦定理再求這個平面角的餘弦值僅此而已，甚至說有些牽強，線面角不作為三餘弦定理的主要應用，關鍵看下面的二面角。

4.三餘弦定理在求二面角中的應用

這三條線如果從同一點出發，就像是三棱錐的頂點和三條側棱，三條側棱又組成三個側面，如何利用三個角的餘弦值來求兩個面夾角的餘弦值呢，看下面的圖示和證明過程：

公式證明起來不難，其中會用到三餘弦定理中角度的轉化，有同學可能覺得公式比較難記，因為公式中總共就三個角度，如上圖，求二面角B-OA-C的餘弦值時分子為不含OA的面中兩條線的夾角減去含OA的兩個面中兩個線的夾角餘弦值，分母中也是含OA的兩個面中兩條線的夾角，這樣就很好記了，如何把這個公式應用在确切的求二面角中，如下兩題可解釋：

注意本題目更簡潔的解法不是三餘弦定理，這裡還是生搬硬套用一下三餘弦定理的推廣形式，首先P-CD-A可看做哪三條共起點的射線所成面的夾角呢？很容易看出是共D點，三條線分别為DP,DA,DC，求的二面角為DP，DC組成的面與DC，DA組成的面，所以利用推廣形式所求二面角所需的角度為∠ADP，∠ADC，∠PDC,因為題目中存在垂直關系，這三個角度的餘弦值也很容易求，過程如下：

由此，用三餘弦定理的推廣形式求二面角的步驟為：

1.确定出三個面和共起點的三條線段

2.确定出所需角的餘弦值和正弦值

3.套用公式(千萬不能搞混了)

拆解過程如下：

step1.二面角為B-A'D-A，三個面為BA1D,DA1A,BA1A,共有的起點為A1點，三條線段分别為A1A,A1B,A1D

step2.所需的角度為∠BA1A,∠BA1D,∠DA1A

step3.求二面角B-A1D-A的餘弦值，分子為cos∠BA1A-cos∠BA1Dcos∠DA1A，分母為sin∠BA1Dsin∠DA1A,過程如下：

總結：三餘弦定理隻能作為課本中的補充内容，無論求線線角，線面角還是二面角都應該以書上最基礎的方法求，在大題中規規矩矩的建系設點，因為三餘弦定理和它的推廣形式都要求特定的垂直關系，因此它并不适用于所有的題目中，不可本末倒置，為了用而用。

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