“化”作為後綴，加在名詞或形容詞後面構成動詞，表示轉變成某種性質或狀态。數學化就是将“常識”轉變成“數學”，體現了弗賴登塔爾的著名論斷：數學是系統化了的常識。一方面，常識是最原始、最接近于必然的；另一方面，數學被認為是确定的、必然的知識或理論，好像遠離常識，讓人敬畏，感到抽象枯燥。産生這種“悖論”的原因是把數學當作“現成的結果”而沒有把它當作“活動”，學習數學沒有經曆數學化。那麼什麼是數學化？如何進行數學化呢？

一、數學化以及橫向、縱向數學化的内涵

數學化就是把不同層次的“常識”進行提煉和組織，凝聚而成的概念、性質、關系和規律。其中，第一層次是對“生活常識”的提煉，所得到的結果又成為再提煉與組織的對象，形成新的“常識”。如此反複，數學就顯現出層次性，構成許多等級，因此數學具有諸如抽象、嚴密、系統等特性。

數學化包括橫向數學化與縱向數學化。橫向數學化指将生活現實抽象為數學的概念與命題等。其基本方式是模型化，是數學化的基礎。縱向數學化是指數學概念、命題等内容的再組織，其基本方式是結構化，最高水平是公理化。橫向數學化與縱向數學化之間的界限模糊，它們的區别依賴于特定的環境。例如，數數活動中既有橫向數學化，也有縱向數學化。“一個、一個地”計數出個數相同但物理屬性不同的事物，認識自然數，是橫向數學化；根據所數事物的結構特點，用較為複雜的計數方法數出個數，比如，長方形寬3、長5，“三個、三個地”計數并用乘法3×5=15得到長方形的面積，是縱向數學化。

二、模型化是小學階段數學化的主要内容

廣義地說，用直觀圖、抽象符号（數、字母及式）等刻畫有特點、有規律的事物的過程是模型化，也就是任何一個直觀圖或符号都能解決“一類”問題。即“模型就是講故事”，是橫向數學化的主要内容。《義務教育數學課程标準(2022年版)》在小學階段提出模型意識——對數學模型普适性的初步感悟，就是強調前述模型化的過程。例如，2a”能表示“每千克蘋果a元，買2千克的錢數”“能被2整除的數”“你有a元錢，我的錢數是你的2倍”等等。由此可見模型化無處不在，是應用數學的基本體現。

模型化需要對現實情境進行簡化與理想化，跨學科的主題式或項目式學習為此提供了載體，讓學生感受到把模糊的、不太确定的現實問題濃縮成精确的數學問題的必要性。

三、結構化、公理化是數學化的終極目标

弗賴登塔爾在《數學教育再探——在中國的講學》一書中提出，“把建模定義為理想化和簡單化，這樣定義不那麼精确，它還是切中了要害，把握某種（動态或靜态）情境的要點，在豐富的相關情境中關注它們，并且随着事物的進展，會有更加豐富一些的内容”。将“豐富的相關情境、更加豐富的内容”建立聯系的過程即是結構化。确定“誰”是起點，将所有的内容建立起一個演繹體系就是公理化。這兩個活動過程是數學化的高階表現，小學階段主要是結構化。

小學生的數學化不僅僅是動手操作獲得提煉與組織的“原料”，更重要的是弗賴登塔爾所說的“反思自己的活動，從而改變看問題的角度，并伴随着局部結果的颠倒和整體的公理化（對小學生而言主要是結構化）”。操作探究、感知感悟事物的性質與蘊含規律，再通過“反身抽象”學會用數學符号語言描述和刻畫，再在更大範圍運用這些性質與規律解決問題等都是數學化的具體體現。

作者：劉加霞（北京教育學院初等教育學院院長，教授，教育學博士，主要從事數學教育、教師培訓研究）；陳曉波（北京教育學院初等教育學院副教授，教育學博士，主要從事語文教育、教師教育研究）

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