奇數與偶數及奇偶性的應用

一、基本概念和知識

1.奇數和偶數

整數可以分成奇數和偶數兩大類.能被2整除的數叫做偶數，不能被2整除的數叫做奇數。

偶數通常可以用2k（k為整數）表示，奇數則可以用2k 1（k為整數）表示。

特别注意，因為0能被2整除，所以0是偶數。

2.奇數與偶數的運算性質

性質1：偶數±偶數=偶數，

奇數±奇數=偶數。

性質2：偶數±奇數=奇數。

性質3：偶數個奇數相加得偶數。

性質4：奇數個奇數相加得奇數。

性質5：偶數×奇數=偶數，

奇數×奇數=奇數。

二、例題

利用奇數與偶數的這些性質，我們可以巧妙地解決許多實際問題.

例1：1 2 3 … 1993的和是奇數？還是偶數？

分析：此題可以利用高斯求和公式直接求出和，再判别和是奇數，還是偶數.但是如果從加數的奇、偶個數考慮，利用奇偶數的性質，同樣可以判斷和的奇偶性.此題可以有兩種解法。

　　解法1：∵1 2 3 … 1993

又∵997和1993是奇數，奇數×奇數=奇數，

∴原式的和是奇數。

　　解法2：∵1993÷2=996…1，

∴1～1993的自然數中，有996個偶數，有997個奇數。

∵996個偶數之和一定是偶數，

又∵奇數個奇數之和是奇數，

∴997個奇數之和是奇數。

因為，偶數 奇數=奇數，

所以原式之和一定是奇數。

例2一個數分别與另外兩個相鄰奇數相乘，所得的兩個積相差150，這個數是多少？

　　解法1：∵相鄰兩個奇數相差2，

∴150是這個要求數的2倍。

∴這個數是150÷2=75。

解法2：設這個數為x，設相鄰的兩個奇數為2a 1，2a-1（a≥1）.則有

（2a 1）x-（2a-1）x=150，

2ax x-2ax x=150，

2x=150，

x=75。

∴這個要求的數是75。

例3：元旦前夕，同學們相互送賀年卡.每人隻要接到對方賀年卡就一定回贈賀年卡，那麼送了奇數張賀年卡的人數是奇數，還是偶數？為什麼？

分析此題初看似乎缺總人數.但解決問題的實質在送賀年卡的張數的奇偶性上，因此與總人數無關。

　　解：由于是兩人互送賀年卡，給每人分别标記送出賀年卡一次.那麼賀年卡的總張數應能被2整除，所以賀年卡的總張數應是偶數。

送賀年卡的人可以分為兩種：

一種是送出了偶數張賀年卡的人：他們送出賀年卡總和為偶數。

另一種是送出了奇數張賀年卡的人：他們送出的賀年卡總數=所有人送出的賀年卡總數-所有送出了偶數張賀年卡的人送出的賀年卡總數=偶數-偶數=偶數。

他們的總人數必須是偶數，才使他們送出的賀年卡總數為偶數。

所以，送出奇數張賀年卡的人數一定是偶數。

例4：已知a、b、c中有一個是5，一個是6，一個是7.求證a-1，b-2，c-3的乘積一定是偶數。

證明：∵a、b、c中有兩個奇數、一個偶數，

∴a、c中至少有一個是奇數，

∴a-1，c-3中至少有一個是偶數。

又∵偶數×整數=偶數，

∴（a-1）×（b-2）×（c-3）是偶數。

例5：任意改變某一個三位數的各位數字的順序得到一個新數.試證新數與原數之和不能等于999。

則有a a′=b b′=c c′=9，因為9不會是進位後得到的

又因為a′、b′、c′是a、b、c調換順序得到的，

所以a b c=a′ b′ c′。

因此，又有（a a′） （b b′） （c c′）=9 9 9，

即2（a b c）=3×9。

可見：等式左邊是偶數，等式的右邊（3×9=27）是奇數.偶數≠奇數.因此，等式不成立.所以，此假設“原數與新數之和為999”是錯誤的，命題得證。

這個證明過程教給我們一種思考問題和解決問題的方法.先假設某種說法正确，再利用假設說法和其他性質進行分析推理，最後得到一個不可能成立的結論，從而說明假設的說法不成立.這種思考證明的方法在數學上叫“反證法”。

例6：用代表整數的字母a、b、c、d寫成等式組：

a×b×c×d-a=1991

a×b×c×d-b=1993

a×b×c×d-c=1995

a×b×c×d-d=1997

試說明：符合條件的整數a、b、c、d是否存在。

解：由原題等式組可知：

a（bcd-1）=1991，b（acd-1）=1993，

c（abd-1）=1995，d（abc-1）=1997。

∵1991、1993、1995、1997均為奇數，

且隻有奇數×奇數=奇數，

∴a、b、c、d分别為奇數。

∴a×b×c×d=奇數。

∴a、b、c、d的乘積分别減去a、b、c、d後，一定為偶數.這與原題等式組矛盾。

∴不存在滿足題設等式組的整數a、b、c、d。

例7：桌上有9隻杯子，全部口朝上，每次将其中6隻同時“翻轉”.請說明：無論經過多少次這樣的“翻轉”，都不能使9隻杯子全部口朝下。

解：要使一隻杯子口朝下，必須經過奇數次“翻轉”.要使9隻杯子口全朝下，必須經過9個奇數之和次“翻轉”.即“翻轉”的總次數為奇數.但是，按規定每次翻轉6隻杯子，無論經過多少次“翻轉”，翻轉的總次數隻能是偶數次.因此無論經過多少次“翻轉”，都不能使9隻杯子全部口朝下。

例8：假設n盞有拉線開關的燈亮着，規定每次拉動（n-1）個開關，能否把所有的燈都關上？請證明此結論，或給出一種關燈的辦法。

證明：當n為奇數時，不能按規定将所有的燈關上。

因為要關上一盞燈，必須經過奇數次拉動它的開關。

由于n是奇數，所以n個奇數的和=奇數，

因此要把所有的燈（n盞）都關上，拉動拉線開關的總次數一定是奇數。

但因為規定每次拉動n-1個開關，且n-1是偶數，

故按規定拉動開關的總次數一定是偶數。

∵奇數≠偶數，

∴當n為奇數時，不能按規定将所有燈都關上。

當n為偶數時，能按規定将所有燈關上.關燈的辦法如下：

設燈的編号為1，2，3，4，…，n.做如下操作：

第一次，1号燈不動，拉動其餘開關；

第二次，2号燈不動，拉動其餘開關；

第三次，3号燈不動，拉動其餘開關；

…

第n次，n号燈不動，拉動其餘開關.這時所有的燈都關上了。

例9：在圓周上有1987個珠子，給每一珠子染兩次顔色，或兩次全紅，或兩次全藍，或一次紅、一次藍.最後統計有1987次染紅，1987次染藍.求證至少有一珠子被染上過紅、藍兩種顔色。

證明：假設沒有一個珠子被染上過紅、藍兩種顔色，即所有珠子都是兩次染同色.設第一次染m個珠子為紅色，第二次必然還僅染這m個珠子為紅色.則染紅色次數為2m次。

∵2m≠1987（偶數≠奇數）

∴假設不成立。

∴至少有一個珠子被染上紅、藍兩種顔色。

例10：如下頁圖，從起點始，隔一米種一棵樹，如果把三塊“愛護樹木”的小牌分别挂在三棵樹上，那麼不管怎樣挂，至少有兩棵挂牌的樹，它們之間的距離是偶數（以米為單位），這是為什麼？

解：任意挑選三棵樹挂上小牌，假設第一棵挂牌的樹與第二棵挂牌的樹之間相距a米，第二棵挂牌的樹與第三棵挂

牌的樹之間相距b米，那麼第一棵挂牌的樹與第三棵挂牌的樹之間的距離c=a b（米）（如下圖），如果a、b中有一個是偶數，題目已得證；如果a、b都是奇數，因為奇數 奇數=偶數，所以c必為偶數，那麼題目也得證。

例11某校六年級學生參加區數學競賽，試題共40道，評分标準是：答對一題給3分，答錯一題倒扣1分.某題不答給1分，請說明該校六年級參賽學生得分總和一定是偶數。

解：對每個學生來說，40道題都答對共得120分，是個偶數.如果答錯一道，相當于從120分中扣4分.不論答錯多少道，扣分的總數應是4的倍數，即扣偶數分.從120裡減去偶數.差仍是偶數.同樣，如果有某題不答，應從120裡減去（3-1）分.不論有多少道題沒答，扣分的總數是2的倍數，也是偶數.所以從120裡減去偶數，差仍是偶數.因此，每個學生得分數是偶數，那麼全年級參賽學生得分總和也一定是偶數.

例12某學校一年級一班共有25名同學，教室座位恰好排成5行，每行5個座位.把每一個座位的前、後、左、右的座位叫做原座位的鄰位.問：讓這25個學生都離開原座位坐到原座位的鄰位，是否可行？

分析：為了便于分析，我們可借助于下圖，且用黑白染色幫助分析.

我們把每一個黑、白格看作是一個座位.從圖中可知，已在黑格“座位”上的同學要換到鄰座，必須坐到白格上；已在白格“座位”上的同學要換到鄰座，又必須全坐到黑格“座位”上.因此，要使每人換為鄰座位，必須黑、白格數相等。

解：從上圖可知：黑色座位有13個，白色座位有12個，13≠12，因此，不可能使每個座位的人換為鄰座位。

例12的解法，采用了黑白兩色間隔染（着）色的辦法.因為整數按奇偶分類隻有兩類，所以将這類問題轉變為黑白兩色間隔着色，可以幫助我們較直觀地理解和處理問題.讓我們再看一道例題，再體會一下奇偶性與染色的關系。

例13：在中國象棋盤任意取定的一個位置上放置着一顆棋子“馬”，按中國象棋的走法，當棋盤上沒有其他棋子時，這隻“馬”跳了若幹步後回到原處，問：“馬”所跳的步數是奇數還是偶數？

解：在中國象棋中，“馬”走“日”字，如果将棋盤上的各點按黑白二色間隔着色（如圖），可以看出，“馬”走任何一步都是從黑色點走到白色點，或從白色點走到黑色點.因此，“馬”從一色點跳到另一同色點，必定要跳偶數步.

因此，不論開始時“馬”在棋盤的哪個位置上，而且不論“馬”跳多少次，要跳回原處，必定要跳偶數步。

例14：線段AB有兩個端點，一個端點染紅色，另一個端點染藍色.在這個AB線段中間插入n個交點，或染紅色，或染藍色，得到n＋1條小線段（不重疊的線段）.試證：兩個端點不同色的小線段的條數一定是奇數。

證明：當在AB中插入第一點時，無論紅或藍色，兩端色不同的線段仍是一條。

插入第二點時有三種情況：

①插入點在兩端不同色的線段中，則兩端不同色線段條數不變。

②插入點在兩端同色的線段中，且插入點顔色與線段端點顔色相同，則兩端不同色線段條數不變。

③插入點在兩端同色的線段中，但插入點顔色與線段端點顔色不同，則兩端不同色線段條數增加兩條。

因此插入第二個點時端點不同色的線段數比插入第一個點時端點不同色的線段數（=1）多0或2，因此是奇數（1或3）。

同樣，每增加一個點，端點不同色的線段增加偶數（0或2）條.因此，無論n是什麼數，端點不同色的線段總是奇數條。

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