數學是符号加邏輯——羅素 

羅素

（接上文）表示集合的方法通常有四種，即列舉法 、描述法 、圖像法和符号法 。

1.1 列舉法

列舉法就是将集合的元素逐一列舉出來的方式。例如，光學中的三原色可以用集合{紅，綠，藍}表示；由四個字母a,b,c,d組成的集合A可用A={a,b,c,d}表示，如此等等。

1.1.1優點：可以明确集合中具體的元素及元素的個數。

1.1.2注意點：

①元素間必須用“，”分隔；

②集合的元素必須滿足三個特性（确定性、互異性、無序性）；

③元素不能遺漏，重複的隻寫一次（互異性）；

④适應範圍：

i.含有有限個元素且個數較少的集合；

ii.有些集合的元素較多，元素的排列又呈現規律性，在不緻于發生誤解的情況下，也可以列出幾個元素作為代表，其他的元素用省略号表示。如{1,2,3，…，100}可以表示不大于100的自然數構成的集合。

iii.無限集有時也可以用上述的列舉法表示，如自然數集：{0,1,2,3，…，n,…}，你明白它與{0,1,2,3，…，n}的區别嗎？

1.2 描述法

描述法的形式為{代表元素∣代表元素滿足的性質}，亦即{x∣p(x)}。

設集合S是由具有某種性質P的元素的全體所構成的，則可以采用描述集合中元素公共屬性的方法來表示集合：S={x|P(x)}。例如，由2的平方根組成的集合B可表示為B={x|x²=2}。而有理數Q和正實數集R 則可以分别表示為

Q={x∣x=p/q p,q∈Z，p,q既約且q≠0}和 R ={x∣x∈R,x>0}

1.2.1注意點：

i.在不緻發生誤解時，x的取值集合可以省略不寫；例如，實數集R中取值“∈R”常常省略不寫，上述R ={x∣x∈R,x>0}也可以寫作R ={x∣x>0}。

ii.所有描述都要寫在 “{ }”内；

iii.大括号是集合的表示，故已包含“所有”的意思嗎，比如實數集（即所有實數構成的集合）的表示是R,不是{ R }.

iv.大括号内的“，”除了隔開的意思外，往往兼有“且”的意思，注意靈活使用.

v.用描述法表示集合時，首先弄清楚集合的類型，是數集、點集還是其他類型.

vi.描述法多用于元素個數無限的集合。

1.2.2描述法運用的關鍵點： 你能正确地區别下面四個集合嗎？

總結：看清集合的“代表元素”，從而判斷集合元素所共有的“特征性質”。

1.3 圖像法

圖像法，又稱韋恩圖法、文氏圖法（不同是因為音譯的不同），是一種利用二維平面上的點集表示集合的方法。一般用平面上的矩形或圓形表示一個集合，是集合的一種直觀的圖形表示法 。

小曆史：數學的表述往往很抽象，而圖形則以其生動活潑的形象展現在人們的面前。康托爾的集合論首次提出的時候，許多人都感到難以理解，把這一理論形容成“霧中之霧”。然而英國的邏輯學家韋恩（venn,1834～1923）建議用簡單的圓表示集合，并用兩圓相交的公共部分來表示兩個集合的交集合，還用圖形表達兩個集合或三個集合間的關系。這種抽象中的形象，使得深奧的集合理論，一舉變得人人感到非常親切、合理。

把抽象的東西形象化，再通過直觀的形象來深化抽象的内容，這大概就是數學教師的最終使命，也是教學的真谛。是謀求形象中的抽象，還是謀求抽象中的形象，這正是數學研究與數學教學的分水嶺。

1.4 符号法

有些集合可以用一些特殊符号表示，舉例如下：

N：非負整數集合或自然數集合{0,1,2,3,…}，英語單詞Natural的首字母。

N*或N ：正整數集合{1,2,3,…}

Z：整數集合{…,-1,0,1,…}，德語中的整數叫做Zahlen，德國人諾特在引入整數環概念的時候運用到它。當然它也是zone的首字母。

Q：有理數集合， Q是英語/德語中Quotient（商）的首字母。

R：實數集合(包括有理數和無理數），英文名字The set of real number。

C：複數集合，英文名字complex number。

∅ ：空集（不含有任何元素的集合）

1.5元素與集合的關系符

屬于符号“∈”，不屬于“∉”

2.集合的相關問題

2.1基數，集合中元素的數目稱為集合的基數，集合A的基數記作card(A)。當其為有限大時，集合A稱為有限集，反之則為無限集 。

2.2集合的分類（按照元素個數的可數性），一般的，把含有有限個元素的集合叫做有限集，含無限個元素的集合叫做無限集 。

2.3集合元素的特性

2.3.1确定性，給定一個集合，任給一個元素，該元素或者屬于或者不屬于該集合，二者必居其一，不允許有模棱兩可的情況出現。

2.3.2互異性，一個集合中，任何兩個元素都認為是不相同的，即每個元素隻能出現一次。有時需要對同一元素出現多次的情形進行刻畫，可以使用多重集，其中的元素允許出現多次。

2.3.3無序性，一個集合中，每個元素的地位都是相同的，元素之間是無序的。集合上可以定義序關系，定義了序關系後，元素之間就可以按照序關系排序。但就集合本身的特性而言，元素之間沒有必然的序。

關于集合元素特性的題目，重點互異性

填空題：

判斷題：你覺得一元二次方程ax² bx c=0的解集表示成如下形式正确嗎？它兼顧到無序性嗎？确定性呢？

2.4區間

3.對集合表示的解讀

集合是高一新生遇到的第一個問題，往往會出現眼高手低的現象。集合表面上看并不是很難，事實上它也确實不難，但是它卻非常重要。從前面的論述中也可以看到，它關涉的基本上都是數學語言、思想方法方面的問題，關系到我們如何去分析、解讀概念、符号、圖形等等問題。下面的前兩個問題是整個高中必須掌握的思想方法必須達到精确理解與正确表述。

3.1數形結合

華羅庚說：“數缺形時少直觀,形少數時難入微,數形結合百般好,隔離分家萬事休。”

數與形是數學中的兩個最古老，也是最基本的研究對象，它們在一定條件下可以相互轉化。中學數學研究的對象可分為數和形兩大部分，數與形是有聯系的，這個聯系稱之為數形結合，或形數結合。作為一種數學思想方法，數形結合的應用大緻又可分為兩種情形:或者借助于數的精确性來闡明形的某些屬性，或者借助形的幾何直觀性來闡明數之間某種關系，即數形結合包括兩個方面:第一種情形是"以數解形"，而第二種情形是"以形助數"。"以數解形"就是有些圖形太過于簡單，直接觀察卻看不出什麼規律來，這時就需要給圖形賦值，如邊長、角度等。

由于數形結合的例子與相關文章很多，其中集合中的數形結合問題，大多是關于集合運算的，後文再說，其他的筆者也說不出什麼新的花樣，故不多說，自己去看相關文章。

3.2數學符号意識

《标準(2011年版)》指出：“符号意識主要是指能夠理解并且運用符号表示數、數量關系和變化規律；知道使用符号可以進行運算和推理，得到的結論具有一般性。建立符号意識有助于學生理解符号的使用是數學表達和進行數學思考的重要形式。”

比如，學習“數數”可以看作學習數學起點，數字符号：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，……可以看作我們最早接觸的數學符号，它給我們帶來了巨大的方便，其中的“位值制”又蘊涵着最重要的數學智慧。

比如集合中已經學過的符号，表示集合的A,B,C…,{ }；列舉法中的“，”；描述法中{x∣p(x)}；常見數集表示N,Z,Q,R,C；元素與集合的關系符∈，∉等等。當然還有我們接下來要學習的交、并、補、子集、空集就更多了。後文會有相關的問題。

3.3對區間解讀

3.3.1注意前提條件

很多教師對區間的概念根本不講，至多如上面那樣列出圖表就完事了，讓學生死記硬背，以緻後面的部分題目就會出現問題，如區間必須注意的是前提條件（a<b）可設計如下題目：

若A=｛x|－1≤x≤7｝,B=｛x|k 1≤x≤2k－1｝,且A∩B=Φ,則k的取值範圍為 .

若A=[-1，7]，B=[k 1，2k-1]，且A∩B=Φ,則k的取值範圍為 .

3.3.2注意開區間和閉區間

一開一閉，大不相同。舉個好玩的但很有難度的例子吧！

閉區間[0,1]與開區間(0,1)的區别，前者有最大值1和最小值0，而後者沒有最的大數與最小的數。

假想閉區間裡的每個點都是一個小人兒，下雨啦，它們撐起了無數的小傘，小傘替每個點都很好地遮了雨。有一條定理說：這時沒有必要用無窮多把傘，從這些傘裡一定可以挑出有限把，其他的都收起來，照樣遮雨。這就是微積分學裡一條有名的定理，叫“有限覆蓋定理”。

有趣的是，對開區間（0，1），卻沒有“有限覆蓋定理”。

比如，下面這無窮多的一串傘（如下圖）：

确實遮蓋了（0,1）中的每個點。如圖所示：

具體的說，（1/3,1）包含了1/2，（1/4,1/2）又包含了1/3，（1/5,1/3）包含了1/4，……

（1/（n 1）, 1/（n-1））包含了1/n.

但是，絕不可能從這一串“傘”裡挑出有限把傘，替（0,1）中的每個點都遮好雨。

事實很清楚，如果挑出來的這有限把傘裡最左邊的是（1/（m 1）, 1/（m-1））,那麼，1/m這個點便淋雨了。

比1/m更小的那些數所表示的點，當然也都是不行的挨雨淋的小東西。

多兩點與少兩點，這裡面大有文章，值得反複推敲。數學家看問題，就是這樣反複推敲的。

而中學生解決的方法是代入檢驗法或者極限法。

要知後續如何，下文在分解吧。

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