自然數渾然天成人間易得，但光有自然數還不足以應對紛繁複雜的日常生活，生活中有的人有錢，有的人沒錢，有的人不僅沒錢還欠錢，假定都是整錢，有錢用自然數表示，沒錢用0表示，那麼欠錢呢?欠錢用負數表示，什麼是負數，負數又從哪來呢?相對于自然數，負數并不自然，是一種新數，它對應着一種新的運算，即減法運算。基于加法我們這樣來定義減法：

若x＋y＝z，則x＝z－y，減法是加法的逆運算，稱為加減變形公理。

注意，在定義減法時并沒有将其局限于已知的數，而是不加限制地認為它對任何可能的數都有效，包括0、∞和自然數，也包括後面要講到有理數、無理數和實數；也沒有規定說隻能大數減小數，不能小數減大數。法無禁止即是自由，這一點很重要，切不可做給數學上枷鎖的傻事，如康托爾所說，數學的本質就在于它的自由，給數學上枷鎖，其結果終究是給人類自己上枷鎖。

據此令x＋n＝0，則有x＝0－n，當中的n可以是任何可能的數，就目前來說隻有0、∞和自然數。由于自然數和∞都大于0，可以想見0－n得到的數x肯定不同于原來所有的數，這時我們有意或無意地把0和∞忽略，将0－n記作－n，即0－n＝－n，其中n為自然數，并給這樣的數取個名字叫做負數，負數就從這來，它是引入減法之後的必然産物，在所有算術運算中，減号即負号，負号即減号。有了負數，準确說是負整數，之前的自然數，放在一個更大的範圍裡，就不叫自然數，而稱為正整數。0既不屬于正整數，也不屬于負整數，正整數、負整數和0統稱為整數。這是一個已經被奉為常識的說法，小學生都懂的，但這個說法是否準确可以再讨論。

定義和公理是一切數學的出發點，自然也是我們思考和讨論各種數學問題時的出發點。那麼嚴格按照負數的定義來看，負數是與某數相加為0的數，或者說負數是由0減去一個已知數所得的結果，0減自然數n得到－n，同理，0減0得到－0，0減∞得到－∞，－0和－∞都嚴格遵循負數的定義而産生，是鐵闆釘釘的數。如果說對∞是不是一個數還存有疑慮，姑且不去論它，0是一個數，則毫無疑問，那麼給0加上負号，它滿足：0－0＝－0，0＋(－0)＝0，－0＝0，于是“－0”作為一個可以運算的符号，稱其為數，乃妥妥的實至名歸。

接下來把所有這些數按正負号分開排列，為了突出重點，暫不考慮∞和－∞：

0、 1、 2、 3、 …－0、－1、－2、－3、 …

這時我們還能單獨将0拎出來說整數分為正整數、負整數和0嗎?有負0存在，将它鄭重地考慮進來，帶負号肯定是歸到負整數，那麼跟它相對的正0（0寫全了應該是＋0）歸到哪呢?——還用說嘛，當然歸到正整數。所以關于整數準确的說法應該是，整數分為正整數和負整數，正整數包括{0、1、2、3、…}，負整數包括{－0、－1、－2、－3、…}。之前的說法無疑是完全忽略了－0的存在，加上－0＝0，導緻我們在實際運算中幾乎覺察不到它的存在，有它和沒它運算結果基本不受影響，既然不受影響，那忽略不就忽略了，但要完整而深入地理解數，恰恰不能忽略它的存在。而忽略的後果又異常嚴重，是人們料想不到的。

如若對此表示搖頭，不能理解，多半是因為還沒有真正搞懂什麼是負數，不曾想過從負數的定義出發，－0也是一個正兒八經的數，盡管－0＝0，但相等并不意味着兩個數必須完全一緻，一緻到是一個數，否則使用等号隻能有x＝x，而不能有x＝y的表述。總之在負0面前，我們應該檢讨，衆目睽睽之下藏着這麼一個鬥大的數，怎麼就沒人發現呢?

有了減法，我們對大于、小于和等于可以做進一步理解，根據等身公理，x＝x0加公理，0＋x＝x以及減法的定義，可以得到x－x＝0，那麼若x＝y，則有x－y＝0，即兩個數相等則它們的差為0，反之亦然，若x－y＝0，則有x＝y，兩個數的差為0則它們相等。仿此，1＞0，那麼1－0，不能等于0，不能小于0，隻能大于0，即1－0＞0，那麼，若x＞y，則有x－y＞0，反之亦然，若x－y＞0，則有x＞y，對于小于符号“＜”也是這樣，若x＜y，則有x－y＜0；若x－y＜0，則有x＜y。

判斷兩個數的大小，通常使用的算術方法就是看這兩個數的差是否為0，5－3＞0，說明5比3大；反之，3－5＜0，說明3比5小；3－3＝0，兩個3相等。那麼0與－0誰大誰小呢?因為－0的定義就是0－0，0減去0隻能是0，即－0＝0。于是數的大小與算術運算找到了對應關系。

既然0－0＝0，那麼∞－∞＝?，這個問題有點燒腦，按照∞加公理，∞＋x＝∞，以及減法的定義得到，∞－∞＝x，這個與由0加公理得到的x－x＝0，是否相矛盾呢?一個數自己減去自己，還能不等于0嗎?一個數自己跟自己比較還能不相等嗎?回答是不矛盾，但又确實存在這樣一個數不能簡單的自己跟自己比較，比較結果為x，說明可以相等也可以不相等，這個數就是∞。

∞與普通數的根本區别可以這樣來理解：對于任意一個普通數a，a－a＝0，并且a－a≡0，a減a等于0，并且a減a恒等于0；但對于∞來說，∞－∞＝0，并且∞－∞!≡0（不恒等于符号應該用≡加斜杠/來表示，但是“!≡”方便輸入，所以先用着），∞減∞等于0，并且∞減∞不恒等于0，因為∞－∞＝x，x可以是任何數。

整數是在減法基礎上對自然數的擴展，從正方向擴展到負方向，相當于把自然數整個複制一份放置到相反方向，按常識理解這會兒整數的個數應該有自然數個數的兩倍才對，但無窮無盡的自然數翻一倍到無窮無盡的整數，還是無窮個，∞×2＝∞，居然沒有變化。大概到了無窮這個級别，數量的增加已經沒有意義了。其實根據∞－∞＝x，說整數跟自然數一樣多，即∞－∞＝0，沒問題；說整數比自然數多無窮個，即∞－∞＝∞，也沒問題；甚至說整數比自然數少無窮個，即∞－∞＝－∞，也對。——怎麼說都對，這不見鬼了嗎?！對于擁有無窮數量的對象，欲通過數字的大小來比較對象的多和少，已經沒什麼價值。康托爾一度也很糾結這個問題，經過苦思冥想，提出以對應的方式來重新定義無窮對象數量的大和小，由此開創了集合論和超窮數理論，他是如何做的呢?

我們知道數字被發明出來，最直接的用處是計數，通常稱為數數，幼兒識數基本上都是從數數開始。要計數，首先要明确計數對象，對誰進行計數?對周圍的人，對手指腳趾，還是籃子裡的雞蛋，這就涉及集合的概念。集合是什麼?集合所回答的問題是：“對象是哪些?”，回答這個問題旨在明确計數對象。而集合的作用相當于在我們的頭腦裡畫出一個圈，将思考或讨論所涉及的對象都放進這個圈裡，并給這個圈命名，比如A或者B，當提及這個名字的時候，我們都知道言之所指的是哪些對象。意即，集合是包含确定對象的全體，而構成集合的對象則稱為元素。集合概念的提出極大節約了人們的認知和溝通成本，它的提出者康托爾可以說居功至偉。

有了集合，如果隻考慮一個集合，不會有啥問題，當面對兩個集合時，問題就産生了，哪個集合中的元素多，哪個集合中的元素少?元素多的為大，元素少的為小，如何比較兩個集合的大小呢?我們知道，數是用來标定多少、比較大小的，如果沒有數，或者不知有數，又或者在明知有數而不用的情況下，我們又如何比較它們的大小呢?這時要用到“1對1”的方法。

據說，著名的《荷馬史詩》中記載了一個則盲人牧羊的故事：獨眼巨人波呂斐摩斯僅有的一隻眼也被奧德修斯刺瞎，成為盲眼巨人。盲眼巨人眼盲心不盲，他每天坐在山洞口照料他的羊群，早晨羊兒外出吃草，每出來一隻，他就摸索着撿起一粒石子放在身邊；傍晚羊兒返回山洞，每進去一隻，他就扔掉一粒石子，當把早晨撿起的石子扔光時，他就确信羊群中的羊全部返回了山洞。很顯然，故事中的盲眼巨人，不必知道羊群中有多少隻羊，以及他撿起的一堆石子中有多少粒石子，他隻需要将羊群中的羊與石堆中的石子“1對1”，一隻羊對應一粒石子，一隻羊對應一粒石子，對完了，結果自然明了。如果石子有剩，說明羊少了；如果羊有剩，說明可能生小羊了；如果羊和石子都沒有剩，剛好一一對應，則兩者一樣多。盲眼巨人就是在使用“1對1”的方法比較兩個集合的大小，整個過程不涉及數，所以巨人即便眼盲再加數盲，照料好羊群亦無大礙。

所謂“1對1”，就是将A、B兩個任意的集合放一起，使之處在同一時空當中，然後将A中的元素與B中的元素建立起一個對一個的映射關系。由于A中的元素無序，B中的元素也無序，那麼在A、B對應時，則不要求特定的元素對特定的元素，比如A中a1不是隻能與B中的b1相對，它也可以選擇與b2相對，一旦選定，它就不能再與B中的其他元素相對。對下來的結果，隻有三種可能：A＞B，即B中的元素對完了，A中有剩餘，餘多少不考慮；A＜B，即A中的元素對完了，B中有剩餘，餘多少不考慮；A＝B，即A與B中的元素一一對應，都沒有剩餘。“1對1”的結果也可以粗分為兩種：一一對應和非一一對應，有時為了強調結果的一一對應，也把“1對1”方法稱為“一一對應”。

所謂計數，則是借助“1對1”的方式，将對象跟數聯系起來，在知道對象“是哪些”之後來回答對象“有多少”的問題。此時的“1對1”不再是未知對未知、無序對無序，而是未知對已知、無序對有序。其中這個已知、有序的集合便是一把标有刻度的尺子，可以用它來測量未知集合，使未知變成已知。計數就是以某個數的集合作為“1對1”的一方，來測量另一方。常用的有自然數集、有理數集、實數集。對于簡單的計數，首選自然數集N＝{1，2，3，…}。

現在我們用自然數集替換掉盲眼巨人手中的石子，來數一數他的羊群裡有多少隻羊。由于自然數集中的元素是有序的，1＜2＜3＜4＜5＜…，那麼我們在将羊群中的羊與自然數集中的數一個對一個時，也要遵循這個次序，出第一隻羊對1、再出一隻羊對2、再出一隻羊對3、…，從山洞走出最後一隻羊時，如果對的是10，則說明羊群裡有10隻羊，計數的結果就是10。

整個計數過程，從1數到10，依次取自然數集中的元素，對應的正是自然數的生成和累加過程，即持續加1。我們可以用計算機編程語言來描述這個過程。令計數結果為r，并且r的初始值為0，每映射一次，則執行一次r＝r＋1（這裡的“＝”是計算機編程語言中的賦值符号，意思是将右邊的值賦給左邊的變量，而不是算術中的“＝”表示左右兩邊相等），将此過程展開來看：

很明顯，計數本質上就是将集合中的元素映射到數以及數的運算，并最終得到一個數，這個數即是該集合元素的個數，亦即集合的大小。而單純的映射呢，隻是将一個集合的元素映射到另一個集合的元素，兩個集合之間沒有本質差别：

将羊群映射到石子

這張圖描繪的便是盲眼巨人早上将羊群映射到一堆石子的過程，從羊群到石堆，從一個集合到另一個集合，其間絲毫沒有涉及數，所以映射的結果，盲眼巨人并不知道羊群裡有多少隻羊，或者石堆中有多少粒石子，他手裡隻是得到了一個羊群的副本，這個副本與真實的羊群相比，除了數量相等，還有一個很大的優點，羊會亂跑，石子不會，可以說聰明的盲眼巨人利用石子對羊群進行了一次抽象，将羊群簡化為了石子。

呆到傍晚羊群返回山洞，盲眼巨人需要将這時的羊群與早上羊群的副本即石堆，進行“1對1”比較，看羊有沒有亂跑。這就涉及如何比較兩個集合的大小。早上将羊映射到石子，盲眼巨人是撿石子，放出一隻羊撿一粒石子，最終得到一堆石子，現進一步将這堆石子抽象為一個集合N，将傍晚的羊群抽象為一個集合M，然後比較M和N的大小。

盲眼巨人雖然不識數，但隻要有最基本的有和無的概念，是容易做到的。他可以把M、N兩個集合放在一起，一隻手從M中取元素，另一隻手從N中取元素，一次取出一個元素，兩隻手同時取，于是兩個集合中的元素同時減少，都是一次少一個。隻要M和N中都還有元素可取，盲眼巨人就一直取下去，取了多少次他可以不管，直到出現至少有一個集合沒有元素可取為止。假如M中還有元素，N中沒有元素，即可得出M＞N。

同時讓兩個集合中的元素等量減少，誰先減少到無誰就小，同時減少到無就是一樣大，這是最原始最樸素的比較兩個集合大小的方法。隻須知道有和無，就能判斷兩個集合的大小，這種方法最大限度地規避了對數的認知，确實非常高明。這種方法對我們來說有一個堪稱經典的應用，即老師上課點名：一個班50個學生，滿勤的話，剛好坐滿教室裡的50個座位，學生和座位一個對一個，如果有缺勤，老師輕輕瞄一眼有沒有空位就知道了，而不用一個同學一個同學去數，可見它的效率在特定場景中是極高的。

對于這個高明的方法，我們可以再抽象，抽象為一個算法過程，它有輸入有輸出：第一步，輸入兩個數m、n，并且m、n都是大于0的自然數；第二步，m、n分别減去1，得到新的m、n，即m＝m－1、n＝n－1；第三步，分别比較m、n與0的大小，如果m、n都大于0則返回執行第二步，如果m或者n等于0，則進入下一步；第四步，如果m＞0，n＝0，則輸出m＞n；如果m＝0，n＞0，則輸出m＜n；如果m＝0，n＝0，則輸出m＝n。

不難看出這個算法的核心是m＝m－1，或者寫成r＝r－1，與之前的r＝r＋1剛好相反，前者是加法過程，後者是減法過程。如果将r＝r＋1稱為計數，那麼r＝r－1就是逆計數。

不論計數還是逆計數，“計”的過程即是映射的過程，“計數”即是映射到數，沒有數就沒有計數，這是一個不需要解釋的簡單道理。盲眼巨人不識數，他将羊群映射到石子，通過石子來管理羊群的數量，雖然方便可行，但這不叫計數，這是純映射。羊群的數量，羊群自身不能說明，映射到石子，石子也不能說明羊群的數量，石子本身的數量仍然需要有數才能得以說明。把羊群和石子換作集合，意思就是，集合中元素的數量，集合自身不能說明，也不能由另一個集合來說明，隻能由數來說明。沒有數，單純通過映射，從一個集合跳轉到另一個集合，即便再跳轉也沒用，我們将永遠不知道集合中元素的數量。

這裡需要明白一個道理，數是抽象的。集合也抽象，但相對于數來說，集合仍然是具體的。我們知道集合由元素決定，有什麼樣的元素則有什麼樣的集合，元素一旦确定，元素所屬的集合也就确定，元素一旦确定，元素的數量也就确定，集合的大小也就确定。不論是羊群、石堆，還是抽象的一個集合M，集合一旦确定，與生俱來的集合身上所固有的一個數也就确定，集合中的所有元素即是該數的實例。數是抽象的，數的實例是具體的，不能将數的實例等同于數自身，數不是實例，也不是集合，盡管數可以構成集合。

要弄明白數是什麼，或許還真不是一件容易的事情。我們從小第一次接觸數，往往會被告知，1就是一個蘋果，2就是兩個蘋果，一個蘋果就是1，兩個蘋果就是2，這時我們對數的認知可以概括為，數即對象，對象即數，數與具體對象不作區分。稍微往後，我們知道1不僅是一個蘋果，而是一個人，一塊橡皮，一隻螞蟻，一片樹葉，一分鐘，一小時，是所有這些可以用1來表示的對象的共同屬性，數與具體對象有所區分。最後我們才會認識到，數是可以運算的符号，它隻存在于在數與數的運算當中，與對象無關。這就是人們對數的認知，從具體到抽象，要經曆的3個階段：

1、數即對象，對象即數；2、數是各種對象的一個共同屬性；3、數是可以運算的符号。

對于一個接受現代教育的人來說，小學畢業就應該達到第3階段的認知水平。那麼我們站在今天，回望150年前，來看康托爾以及康托爾所處的那個時代，他們對數的認知是哪個水平呢?可想而知，以康托爾為代表的知識精英，對于普通數的認知，大概都能達到第3階段的認知水平。但是對于無窮，還處在第1階段的前階段，或者稱為第0階段。自亞裡士多德以來，人們對無窮的讨論都是基于某個具體的過程，這個具體過程隻能是不可完成的潛無窮過程，還不能是可完成的實無窮過程，都是在讨論對象，而不是在讨論數，無窮不是數，至今仍是普遍共識。康托爾是把無窮當作數來研究和讨論的第一人，為此他創制的方法是集合論，收獲的成果是超窮數理論。

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