考點1.1、實數的概念及分類
1、 實數的分類
有理數:整數(包括:正整數、0、負整數)和分數(包括:有限小數和無限環循小數)都是有理數.如:-3,,0.231,0.737373...,,.
無理數:無限不環循小數叫做無理數如:π,-,0.1010010001...(兩個1之間依次多1個0).
實數:有理數和無理數統稱為實數.
2、無理數
在理解無理數時,要抓住"無限不循環"這一時之,它包含兩層意思:一是無限小數;二是不循環.二者缺一不可.歸納起來有四類:
(1)開方開不盡的數,如等;
(2)有特定意義的數,如圓周率π,或化簡後含有π的數,如 8等;
(3)有特定結構的數,如0.1010010001...等;
(4)某些三角函數,如sin60o等
注意:判斷一個實數的屬性(如有理數、無理數),應遵循:一化簡,二辨析,三判斷.要注意:"神似"或"形似"都不能作為判斷的标準.
3、非負數:正實數與零的統稱。(表為:x≥0)
常見的非負數有:
性質:若幹個非負數的和為0,則每個非負擔數均為0。
4、數軸:規定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數軸(畫數軸時,要注意上述規定的三要素缺一不可)。
解題時要真正掌握數形結合的思想,理解實數與數軸的點是一一對應的,并能靈活運用。
①畫一條水平直線,在直線上取一點表示0(原點),選取某一長度作為單位長度,規定直線上向右的方向為正方向,就得到數軸("三要素")
②任何一個有理數都可以用數軸上的一個點來表示。
③如果兩個數隻有符号不同,那麼我們稱其中一個數為另外一個數的相反數,也稱這兩個數互為相反數。
作用:A.直觀地比較實數的大小;B.明确體現絕對值意義;C.建立點與實數的一一對應關系。
5、相反數
實數與它的相反數時一對數(隻有符号不同的兩個數叫做互為相反數,零的相反數是零),從數軸上看,互為相反數的兩個數所對應的點關于原點對稱,如果a與b互為相反數,則有a b=0,a=-b,反之亦成立。即:(1)實數的相反數是.(2)和互為相反數.
6、絕對值
一個數的絕對值就是表示這個數的點與原點的距離,|a|≥0。零的絕對值時它本身,也可看成它的相反數,若|a|=a,則a≥0;若|a|=-a,則a≤0。正數大于零,負數小于零,正數大于一切負數,兩個負數,絕對值大的反而小。
(1)一個正實數的絕對值是它本身;一個負實數的絕對值是它的相反數;0的絕對值是0.即:﹝另有兩種寫法﹞
(2)實數的絕對值是一個非負數,從數軸上看,一個實數的絕對值就是數軸上表示這個數的點到原點的距離.
☆(3)幾個非負數的和等于零則每個非負數都等于零,例如:若,則,,.
注意:│a│≥0,符号"││"是"非負數"的标志;數a的絕對值隻有一個;處理任何類型的題目,隻要其中有"││"出現,其關鍵一步是去掉"││"符号。
7、倒數
如果a與b互為倒數,則有ab=1,反之亦成立。倒數等于本身的數是1和-1。零沒有倒數。
即(1)實數(≠0)的倒數是.
(2)和互為倒數。
(3)注意0沒有倒數.
8、有效數字
一個近似數四舍五入到哪一位,就說它精确到哪一位,這時,從左邊第一個不是零的數字起到右邊精确的數位止的所有數字,都叫做這個數的有效數字。
9、科學記數法
把一個數寫做的形式,其中,n是整數,這種記數法叫做科學記數法。
(1)确定:是隻有一位整數數位的數.
(2)确定n:當原數≥1時,等于原數的整數位數減1;;當原數<1時,是負整數,它的絕對值等于原數中左起第一個非零數字前零的個數(含整數位上的零)。
例如:-40700=-4.07×105,0.000043=4.3×10ˉ5.
(3).近似值的精确度:一般地,一個近似數,四舍五入到哪一位,就說這個近似數精确到哪一位
(4)按精确度或有效數字取近似值,一定要與科學計數法有機結合起來.
10、實數大小的比較
知識1、數軸
規定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數軸(畫數軸時,要注意上述規定的三要素缺一不可)。
解題時要真正掌握數形結合的思想,理解實數與數軸的點是一一對應的,并能靈活運用。
知識2、實數大小比較的幾種常用方法
(1)數軸比較:在數軸上表示的兩個數,右邊的數總比左邊的數大。
(2)求差比較:設a、b是實數,
(3)求商比較法:設a、b是兩正實數,
(4)絕對值比較法:設a、b是兩負實數,則。
(5)平方法:設a、b是兩負實數,則。
11、實數的運算 (做題的基礎,分值相當大)
1、加法交換律
2、加法結合律
3、乘法交換律
4、乘法結合律
5、乘法對加法的分配律
6、實數的運算順序
1. 先算乘方開方,再算乘除,最後算加減,如果有括号,就先算括号裡面的。
2. (同級運算)從"左"到"右"(如5÷×5);(有括号時)由"小"到"中"到"大"。
12、有理數的運算:
加法:①同号相加,取相同的符号,把絕對值相加。②異号相加,絕對值相等時和為0;絕對值不等時,取絕對值較大的數的符号,并用較大的絕對值減去較小的絕對值。③一個數與0相加不變。
減法:減去一個數,等于加上這個數的相反數。
乘法:①兩數相乘,同号得正,異号得負,絕對值相乘。②任何數與0相乘得0。③乘積為1的兩個有理數互為倒數。
除法:①除以一個數等于乘以一個數的倒數。②0不能作除數。
乘方:求N個相同因數A的積的運算叫做乘方,乘方的結果叫幂,A叫底數,N叫次數。
考點1.2、實數與二次根式
1、平方根
如果一個數的平方等于a,那麼這個數就叫做a的平方根(或二次方跟)。
一個正數有兩個平方根,他們互為相反數;零的平方根是零;負數沒有平方根。
正數a的平方根記做""。
2、算術平方根
正數a的正的平方根叫做a的算術平方根,記作""。
正數和零的算術平方根都隻有一個,零的算術平方根是零。
(0)
;注意的雙重非負性:
-(<0) 0
注意:算術平方根與絕對值
① 都是非負數,=│a│
②區别:│a│中,a為一切實數;中,a為非負數。
3、算術平方根的估算方法:兩端逼近法.
例如:估算.(精确到0.1)∵∴.又∵,
又∵6更靠近5.76,∴ 4、立方根
如果一個數的立方等于a,那麼這個數就叫做a 的立方根(或a 的三次方根)。
一個正數有一個正的立方根;一個負數有一個負的立方根;零的立方根是零。
注意:,這說明三次根号内的負号可以移到根号外面。
二次根式
5、二次根式
式子叫做二次根式,二次根式必須滿足:含有二次根号"";被開方數a必須是非負數。
6、最簡二次根式
若二次根式滿足:被開方數的因數是整數,因式是整式;被開方數中不含能開得盡方的因數或因式,這樣的二次根式叫做最簡二次根式。
化二次根式為最簡二次根式的方法和步驟:
(1)如果被開方數是分數(包括小數)或分式,先利用商的算數平方根的性質把它寫成分式的形式,然後利用分母有理化進行化簡。
(2)如果被開方數是整數或整式,先将他們分解因數或因式,然後把能開得盡方的因數或因式開出來。
7、同類二次根式
幾個二次根式化成最簡二次根式以後,如果被開方數相同,這幾個二次根式叫做同類二次根式。
8、二次根式的性質
(1)
(2)
(3)
(4) 注:
9、根式運算法則:
⑴加法法則(合并同類二次根式);
⑵乘、除法法則;
⑶分母有理化:A.;B.;C..
10.指數
⑴ (-幂,乘方運算)
① a>0時,>0;②a<0時,>0(n是偶數),<0(n是奇數)
⑵零指數:=1(a≠0)
負整指數:=1/(a≠0,p是正整數)
11、二次根式混合運算
二次根式的混合運算與實數中的運算順序一樣,先乘方,再乘除,最後加減,有括号的先算括号裡的(或先去括号)。
考點1.3、代數式與整式
1、代數式
用運算符号把數或表示數的字母連接而成的式子叫做代數式。單獨的一個數或一個字母也是代數式。
表示方根的代數式叫做根式。
含有關于字母開方運算的代數式叫做無理式。 注意:①從外形上判斷;②區别:、是根式,但不是無理式(是無理數)。
2、單項式
隻含有數字與字母的積的代數式叫做單項式。
注意:單項式是由系數、字母、字母的指數構成的,其中系數不能用帶分數表示,如,這種表示就是錯誤的,應寫成。一個單項式中,所有字母的指數的和叫做這個單項式的次數。如是6次單項式。
注意:系數與指數:區别與①從位置上看;②從表示的意義上看
其含義有:
①不含有加、減運算符号.
②字母不出現在分母裡.
③單獨的一個數或者字母也是單項式.
④不含"符号".多項式 3、多項式
幾個單項式的和叫做多項式。其中每個單項式叫做這個多項式的項。多項式中不含字母的項叫做常數項。多項式中次數最高的項的次數,叫做這個多項式的次數。
單項式和多項式統稱整式。
用數值代替代數式中的字母,按照代數式指明的運算,計算出結果,叫做代數式的值。
注意:(1)求代數式的值,一般是先将代數式化簡,然後再将字母的取值代入。
(2)求代數式的值,有時求不出其字母的值,需要利用技巧,"整體"代入。
4、同類項
所有字母相同,并且相同字母的指數也分别相同的項叫做同類項。幾個常數項也是同類項。
條件:①字母相同;②相同字母的指數相同
合并依據:乘法分配律
5、去括号法則
(1)括号前是" ",把括号和它前面的" "号一起去掉,括号裡各項都不變号。
(2)括号前是"﹣",把括号和它前面的"﹣"号一起去掉,括号裡各項都變号。
6、整式的運算法則
整式的加減法:(1)去括号;(2)合并同類項。
整式的乘法: 整式的除法:
注意:(1)單項式乘單項式的結果仍然是單項式。
(2)單項式與多項式相乘,結果是一個多項式,其項數與因式中多項式的項數相同。
(3)計算時要注意符号問題,多項式的每一項都包括它前面的符号,同時還要注意單項式的符号。
(4)多項式與多項式相乘的展開式中,有同類項的要合并同類項。
(5)公式中的字母可以表示數,也可以表示單項式或多項式。(6)(7)多項式除以單項式,先把這個多項式的每一項除以這個單項式,再把所得的商相加,單項式除以多項式是不能這麼計算的。
考點1.4、整式的乘除 同上
考點1.5、因式分解
1、因式分解
把一個多項式化成幾個整式的積的形式,叫做把這個多項式因式分解,也叫做把這個多項式分解因式。
2、因式分解的常用方法
(1)提公因式法:
(2)運用公式法:①
擴展:
② 擴展: 或
同理:或
③(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3.④(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3;a2+b2=(a+b)2-2ab,(a-b)2=(a+b)2-4ab.
公式拓展:⑥
⑦⑧ ⑨
⑩
⑾
(3)分組分解法:
(4)十字相乘法:
3、因式分解的一般步驟:
(1)如果多項式的各項有公因式,那麼先提取公因式。
(2)在各項提出公因式以後或各項沒有公因式的情況下,觀察多項式的項數:2項式可以嘗試運用公式法分解因式;3項式可以嘗試運用公式法、十字相乘法分解因式;4項式及4項式以上的可以嘗試分組分解法分解因式
(3)分解因式必須分解到每一個因式都不能再分解為止。
考點1.6、分式
1、分式的概念
一般地,用A、B表示兩個整式,A÷B就可以表示成的形式,如果B中含有字母,式子就叫做分式。其中,A叫做分式的分子,B叫做分式的分母。分式和整式通稱為有理式。
2、分式的性質
(1)分式的基本性質:
分式的分子和分母都乘以(或除以)同一個不等于零的整式,分式的值不變。
基本性質:=(m≠0)
(2)分式的變号法則:
分式的分子、分母與分式本身的符号,改變其中任何兩個,分式的值不變。
符号法則:
3、分式的運算法則 技巧:
4、繁分式:①定義:分子或分母中又含有分式的分式,叫做繁分式.②化簡方法(兩種)通常把繁分式寫成分子除以分母的形式,再利用分式的除法法則進行化簡.
,更多精彩资讯请关注tft每日頭條,我们将持续为您更新最新资讯!