巧用兩點間距離公式求最值

在平面直角坐标系中，任意兩點A(x1,y1)B(x2,y2)的距離是AB=√(x1-x2)² (y1-y2)²，也可以寫成AB²=(x1-x2)² (y1-y2)²

，原理很簡單，以AB為斜邊，構造直角三角形，使其兩直角邊分别與坐标軸平行，利用勾股定理可得。

在學習過程中，不僅僅知道點坐标求距離，同時更需要将某個平方和看作兩點間的距離，這種逆向思維往往就是解決難題的突破口。

題目

如圖，點A、B、C均在坐标軸上，OA=OB=OC=1，過點A、O、C作圓D，點E是圓D上任意一點，連接CE、BE，則CE² BE²的最大值是_____________

解析：

學生思考方向一：連接AB、AC，得到一個等腰直角三角形，發現AC是直徑，又連接AE，得到Rt△ACE，于是将CE²轉化成AE² AC²，其中AC²=2，因此得CE²=AE² 2，然而BE與CE的關聯未建立，至此陷入困境；

學生思考方向二：連接OE，過點E向y軸作垂線，然後，就沒有然後了；

學生思考方向三：過點E向x軸作垂線EF，構造雙勾股模型，然而BF² CF²如何變化不得而知，思路卒。

以上三種思考方向或者更多類似的方向，無一不是僅從幾何角度思考問題，但為什麼在題目第一句描述中，要提到坐标系呢？這是否有什麼暗示？

帶着這樣的疑問，我們可以嘗試用點坐标來解決問題，既然點E是圓D上的動點，不妨設E(m,n)，這樣我們可以利用兩點間距離公式來表示CE²和BE²，推導如下：

CE² BE²

=(m-1)² n² (m 1)² n²

=2m² 2 2n²

=2(m² n²) 2

觀察上式，括号中的m² n²何時最大呢？

此時需要逆向思維，這個式子在圖中是指哪條線段長？

為方便學生找到突破口，可将這個式子再次改寫成(m-0)² (n-0)²，至少可看出是點E到原點的距離，即OE²=m² n²；

因此CE² BE²=2OE² 2，現在的任務是判斷OE什麼時候最長？

回到圖中的圓D，OE是它的一條弦，根據圓内最長的弦是直徑，隻有當OE經過圓心時，它最長，如下圖：

圖中的E'即所求位置，隻要求出OE'的長度即可。

顯然圖中∠OCE'=90°，理由是直徑所對的圓周角是直角，連接AC後，可證明它就是直徑，所以可求出直徑為√2，最後得到OE²=2，至此問題解決，CE² BE²最大值是6.

解題反思：

從學生實際遇到的困難來看，數形結合仍然不夠熟練，或者說壓根沒有這個念頭，這意味着在讀題時，“點A、B、C均在坐标軸上”沒理解。平時養成多問為什麼的習慣，如果能問自己，為什麼要所問題放在坐标系中，或許能更快找到思路。

最值問題的解決有很多條路可走，在給學生講一類問題的時候，需要注意分析其本質屬性，而不是表面屬性。前者是為什麼要用某種方法，後者就是看到關鍵詞（圖）就用某方法，教學時需要授人以漁而不是授人以魚。

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