在我們開始探索歐拉恒等式之前，讓我們先來回顧一段令人驚歎的曆史。

大約在公元前500年，希臘人認為有些數字比其他數字更重要。特别是，他們知道兩個具有非凡性質的數字。這兩個數字是220和284。

在解釋為什麼這些數字如此有趣之前，我們需要知道什麼是真約數。n的真約數，是一個比n小的自然數，它能被n整除。例如，6的真約數是1、2、3。220和228有趣的原因是220的真約數之和是284，284的真約數之和是220。這種關系叫做親和關系，數字叫做親和數字。

希臘人認為這是一個非常重要的關系，但他們找不到更多這樣的數字。這種狀态持續了大約一千年，直到伊本庫拉在9世紀又發現了兩對。那時候，數學中心已經從歐洲和埃及轉移到阿拉伯世界，并在那裡快速發展了近500年。

伊本庫拉的發現并沒有傳到歐洲，那裡隻知道一對（220，228）。直到1636年費馬發現了一對。他找到的數字是17296和18416。

在這一時期，兩個數學巨人之間爆發了一場數學内戰。即皮埃爾·德·費馬和勒内·笛卡爾。費馬找到了一對友好的數字，因此笛卡兒必須另找一個。在1638年，他發現這兩個數字分别是9,363,584和9,437,056。那時是沒有計算器的。

費馬和笛卡爾發現的那兩對和伊本庫拉發現的是一樣的。因此，2000年來，數學天才們隻發現了3對親和數。

歐拉決定試一試，然後發現了58對親和數！這太瘋狂了。當然，歐拉不是靠蠻力試錯去找的。歐拉找到了一種依靠除數和函數的特性以及一些天才的見解的方法。

你會問，是否有無窮多對親和數？沒有人知道……這又是數學的一個謎題。

歐拉在很多方面在數學家中都很有名，但有一種美比其他的更閃耀，它被稱為數學中最美麗的等式。我将用幾種不同的方式來解釋這個等式，這樣讀者就會有一種直觀的理解和數學上的理解。

首先，我們來陳述一下。

歐拉恒等式（1748）：

那麼為什麼這種關系如此美妙呢？

首先，正如威廉·鄧納姆所說：

如果你想做加法你需要0，如果你想做乘法你需要1，如果你想做微積分你需要e，如果你想做幾何你需要π，如果你想做複分析你需要i，這是數字的夢之隊，它們都在這個方程裡。

在解釋等式之前，我們先來定義一下這些數字。

0和1

0當然是一個數字，但它是一個非常特殊的數字。它是負數和正數之間的極限，它是唯一不能被除的數，最重要的是，它是加法恒等式，也就是說x 0 = x對于所有的x都成立。

這可能看起來微不足道，但實際上，這是一個大問題，因為它是數學中群論的重要組成部分。群論是關于對稱的數學，但那是另一篇文章。同樣，數字1當然是乘法恒等式。

π的定義

π在數學中到處都是。從數論到概率論和三角學，但這是為什麼呢？

圓與對稱性和周期性都有關系，這些現象在自然界和數學中很多不同的事件中都有發生。從熱輻射到随機運動和電磁波的振動，再到統計分布的密度等等。

π的定義當然是一個圓的周長除以它的直徑，但它卻不能被寫成整數的分數形式。這就是我們所說的無理數。

e的定義

那麼e呢？這個數字有點難定義，但我們會嘗試一下。

首先，e是一個約為2.7182818的數字，是歐拉本人在1748年首次發現的。她是無理數。歐拉發現了如何計算它：

歐拉在1748年就是這麼寫的。如果你學過微積分，那麼你可能會記得微分算子有一個恒等式，也就是函數：

即具有下列性質：

這是非常重要的，因為，首先，它使我們能夠解微分方程。由于幾乎所有的物理定律和系統都可以用微分方程來描述，所以微分方程在物理、生物、數學等科學中都非常重要。

因此，你可以将數字e描述為指數函數的底數，即給定時刻的變化率等于它在那一刻的值。

i的定義

那麼數字i是多少？很多年來，人們不接受“i”這個數字，但話說回來，當負數第一次出現時，他們也不接受負數，所以我想這是一個成熟的問題。

在歐拉時代，人們對這個數字知之甚少。現在，對i和使用它的函數的研究被稱為複分析，當然，歐拉從一開始就引領了這一奇異的新領域。

就像數學中的許多其他東西一樣，我可以有很多不同的定義。有些比較正式。我們将堅持使用最簡單的定義。i是具有以下屬性的數字：

當然，沒有實數滿足這個條件，因為如果你把兩個負數相乘，你會得到一個正數。我們有時稱之為虛單位。

複數是一種形式為A bi的數字，其中A和b是實數。複分析是對複變量的複值函數的研究，（在我看來）是數學中最美妙的學科之一。

但是，我們能用它們做什麼呢？許多真實世界的計算都依賴于複數，從雷達技術到微分方程的解，再到量子力學等等。

太好了。現在我們了解了歐拉恒等式中的所有成員。下一個問題是，為什麼歐拉恒等式是正确的。

為了回答這個問題，我們需要對數學運算和數字持開放的态度。

數字運算與幾何變換之間的對偶性

首先，我想拓展一下你們的想象力。想象一下數軸，也就是實數，從負無窮到正無窮，中間是0。現在我們來考慮一下如果我們把數軸上所有的數加2會發生什麼。在這種情況下，-2趨于0，-1趨于1,0趨于2，以此類推。換句話說，整個實數線将平移2個單位。這種轉換叫做平移。

如果你加上0，那麼就不會發生平移。

如果我們要做減法，也就是用一個負數相加呢？基本變換是一樣的，但它是逆變換。因此，加減相同的數字相當于在每個方向上向左和向右移動相同的數量，從而回到開始的位置。這就等于加0，也就是，x -x = x (-x) = 0。

加法和減法是關于平移變換的。乘法呢？

好吧，用上面同樣的方法來思考，你可以在你的腦海中看到，用一個正數相乘實際上是對數軸的拉伸。除法實際上是僞裝的乘法，是乘法逆變換。當然，這個變換的恒等式對應于乘以1。

那麼乘以一個負數呢？它對應什麼變換？

首先，我們需要記住乘以-x實際上等于先乘以x然後再乘以-1。實數乘以-1對應的是在0處的反射。你可以在數軸上取一個數字x然後乘以-1來看出這一點。然後在-x處對稱地落在0的另一邊。當x為負時，這個也成立。

當我第一次發現不同數字的變換和運算之間的雙重關系時，我被一種美麗和完整的感覺所震撼。從來沒有人向我解釋過為什麼一個負數乘以一個負數是一個正數。這是因為關于同一條直線的兩個反射的變換等于恒等變換，也就是什麼都不做的變換。這裡的恒等變換轉化為數字和運算，相當于乘1的動作。

這也可以用環理論中的同态理論來解釋，但這個更先進一些，我後來才知道。我仍然認為數字幾何是一種更美的方法。

現在我們已經解釋了實數的經典運算是如何與它們對應的變換結合在一起的，以及它們到底是什麼，但是我們缺少一個重要的變換，那就是旋轉。

聽起來我們必須在二維數字平面上發明一些新的奇怪的數字，不是為了解複雜的方程，而是為了我們變換的完整性。那麼這些外來數字的性質是什麼呢？我們取這個數乘以它，就等于逆時針旋轉90度。

首先，我們可以通過将這個有趣的數字乘以1來得到它的位置，因為它應該等于它本身，但它也應該與我們将1旋轉90度後得到的數字相同。因此這個新數位于數字平面上的點(0,1)，在這個新的數字系統中，現在變成（1,0）。

顯然，當我們乘以這個數的平方時，我們旋轉了180度。所以這個數的平方使1變為-1。因此這個神秘數字的平方等于-1。我們現在推導出的是這個數字就是i，虛數單位。i是位于數字平面（0,1）處的數。

所以複數的集合是一個非常必要的，它們負責旋轉變換。結果是複數a bi隻不過是複數平面中的點(a, b)。

這意味着，我們所有的數字實際上都生活在一個二維世界中，每個點都對應一個複數。因此，所有實數也是複數，但并非所有複數都是實數。

歐拉無法獲得這種幾何視圖，因為它是後來由卡斯帕·韋塞爾、卡爾·弗裡德裡希·高斯等人首先開發的。歐拉把i看成是一個具有負平方性質的數。

既然我們已經從這個角度理解了數字，并且記住了這種二元性，那麼在直觀地理解歐拉恒等式之前，我們隻需要再多一個要素。

我們需要知道弧度是什麼。想想看，為什麼一個圓是360度？

原來這是巴比倫人和他們的十六進制數字系統遺留下來的。所以我們用另一種方式計算“度”。都是關于半徑為1的歸一化圓，也就是所謂的單位圓。這個圓定義了三角函數即cos, sin, tan, sec，等等，所以用它來定義度是很自然的。

我們隻需選擇單位圓的周長。所以360度對應2π弧度，180度對應π弧度，以此類推。

下面是一個事實，我們将給出一個簡單的證明，但現在，我們将在這裡陳述它：

當我們将任意複數z與這個數相乘時

結果就是z旋轉了θ弧度！（很重要）

現在，我們準備再看一遍歐拉恒等式，用我們對數字及其相互運算的新理解。但這次寫得有點不同：

這是什麼意思呢？

其實很簡單。我們知道，左邊寫着“旋轉π弧度”，右邊寫着“在數字0處反射”。

所以歐拉恒等式的真正含義是：

旋轉180度和在0處反射是一樣的。

簡單，美麗，優雅！

現在我們從幾何的角度來理解了它，因為現在我們有了一些與方程相關的圖，但這算不上證明。但我們從未展示過數字e與與它相關的複數的角度是如何相關的。同時，我想展示歐拉是如何證明他的等式的。

歐拉用一個更一般的結果來說明角與指數函數之間的關系，即

歐拉公式（1748）：

首先，它意味着指數函數是周期性的。當你畫它的圖形時它可能看起來不像但那是因為它的周期是虛的。周期是2πi，因為cos和sin的周期都是2π。

我們快速地看一下歐拉的證明。

首先，他寫出麥克勞林級數的指數。

然後他把i從括号中拉了出來。注意，右邊括号裡的級數是交替的。在這之後，他認識到括号内的兩個級數分别是cos和sin的麥克勞林級數。

為了解釋指數函數和角度之間的關系，把一個複數想象成複數平面上的一個點，它的坐标是（a, b）。這個數可以寫成a bi，并且它到原點的距離。我們稱這個距離為它的長度r，那麼與實線的夾角呢？

如果我們從點（a, b）畫一條直線到與虛軸平行的實軸，我們也從點到原點畫一條直線，就形成了一個直角三角形。原點的角度就是複數a bi的輻角。

求複數的實參（或角），我們從三角學中知道當斜邊的長度是r，那麼sin乘以r就是對邊的長度，cos乘以r就是鄰邊的長度。

換句話說，在複數a ib中，我們得到a = rcos(θ) b = rsin(θ)所以：

我們在上一個等式中使用了歐拉恒等式。換句話說，任何複數a bi都可以用這種極坐标表示，用指數函數表示它的自變量和模。

但是歐拉的更一般的恒等式是如何證明的呢？

如果x = π， sin項消失（變為0），cos項變為-1就得到了歐拉恒等式了。這最終證明了他美麗的恒等式。

有人說歐拉是有史以來最偉大的數學家，有人說高斯才是，這并不重要。重要的是，我們确實是站在巨人的肩膀上。

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