将形狀完全相同的瓷磚平鋪，能夠描繪出一幅神奇而又美麗的幾何圖案。從建築裝飾到藝術作品，在許多場所我們都能看到那種用瓷磚平鋪出來的圖案，而這其中就隐藏着深奧的數學。到底是怎樣的圖形才能既無縫隙又無重疊地鋪滿整個平面呢?如何才能呈現像畫家埃舍爾所繪版畫那樣獨特的拼貼圖案?本文将介紹美麗與數學交織的拼瓷磚的幾何學。

在人行道或牆壁上，形狀簡單的瓷磚無縫拼貼，描繪出了美麗的幾何圖案，這種場景大家都見過吧。或許有些讀者小時候還曾經踩着那些瓷磚玩耍，或者盯着那些瓷磚看不夠。大家都知道，不同形狀的瓷磚和不同的拼貼方法，可以呈現出千變萬化的幾何圖案，而這裡面實際蘊藏着數學知識。

數學構建美麗世界

無論哪種形狀的瓷磚都能既無縫隙又無重疊地鋪滿無窮平面嗎?這個問題在數學中叫做“鋪砌”。據說，人們把用幾何圖案做裝飾的問題看作是鋪砌的學問，竟然可以追溯到公元前1000年左右的古希臘時代。古希臘人把研究圖形拼貼問題得出的成果應用于裝飾教堂和宮殿的“馬賽克”幾何圖案中。之後，馬賽克繼續發展，在建築裝飾領域被使用了幾千年。西班牙錯覺圖形大師莫裡茨·埃舍爾( Maurits Escher,1898-1972)被阿爾罕布拉宮的馬賽克裝飾所吸引，開始使用神秘的幾何來表達他所看到的事物，創作了許多優秀的作品。

上圖是深受埃舍爾作品影響的日本設計師藤田伸的作品“心随意動的鳥”。以鳥為主題，采用形狀相同、大小一緻的和平鴿，

通過圖形的旋轉或翻轉拼貼而成。如何才能創作出如此神奇的圖案呢?讓我們來了解下在背後支撐貼瓷磚之美的深奧的數學吧。

哪種圖形可以平鋪?

首先，我們來考查一個最簡單的圖形"正多邊形”的瓷磚拼貼。從所有邊長和内角都相等的正三角形(等邊三角形)到正七邊形中，可以既無縫隙又無重疊地平鋪的有哪幾個?

答案請見插圖。能夠平鋪的是正三角形、正方形和正六邊形，無法平鋪的是正五邊形和正七邊形，能夠平鋪的正多邊形與其他正多邊形的區别在于360°與内角度數相除所得的值不同。例如，内角為60°的正三角形，相除的結果為整數6。這意味着,6個正三角形的邊相互連接，旋轉一周排列，正好為360°。再來看看正五邊形，其内角為108°，相除所得結果是3.333……這種帶有零頭的數，結果是無法平鋪。3個不夠360°,4個又有剩餘，所以無法既無縫隙又無重疊地平鋪。

實際上，邊長數多于正七邊形的正多邊形是無法平鋪的，其計算結果不是整數。能夠平鋪的正多邊形隻有3個。這樣考慮的話，我們應該就能理解，美麗的拼瓷磚與“數學”息息相關。

無論哪種三角形或四邊形都能夠平鋪！

那麼，繼正多邊形之後，我們再做進一步的考查。各種形狀的三角形與四邊形，在哪些情況下是可以平鋪的呢?實際上，可能有悖于我們的直覺，無論哪種三角形或四邊形,肯定都能平鋪。

如上圖所示，将某個三角形旋轉180°，然後與原三角形進行組合，肯定會形成相對的邊相互平行的“平行四邊形”。将該平行四邊形橫向拼貼，就會成為無窮長的橫條。然後将該橫條縱向拼貼，就能鋪滿整個平面，這應該很容易理解。像這樣，所有的三角形都可以平鋪。那四邊形情況如何呢?将某個四邊形旋轉180°，然後與原四邊形進行組合，這次會形成“平行六邊形”。将該平行六邊形橫向拼貼，使平行六邊形中一組相互平行的邊重合，從而形成凹凸的橫條。然後将該橫條縱向拼貼，此時，由于橫條上方的凹凸部分與下方的凹凸肯定會重合，所以也可以平鋪。呈楔形、有部分凹陷的四邊形(凹四邊形)也可以平鋪。兩個凹四邊形組合在一起，會形成略有歪斜的平行六邊形。與沒有凹陷的普通四邊形(凸四邊形)的情況一樣，該平行六邊形也可以平鋪。無論哪種形狀的三角形、四邊形都可以平鋪，據說，這個事實早在古希臘時代就已為所知。

一篇畢業論文開啟了“凸五邊形平鋪”的時代

接下來，我們将話題轉向五邊形的鋪砌。正五邊形是不能平鋪的，但如果是改變了邊長與内角度數後略有歪斜的凸五邊形就不同了，至今已發現有15種可以平鋪。這15種凸五邊形中，超過1/3不是數學家發現的，這是一段非常有趣的曆史。

100年前的1918年，凸五邊形能夠平鋪這個話題首次被作為數學問題提及。德國法蘭克福大學的卡爾·萊因哈特(KarlReinhardt)發表了“5種可以平鋪的凸五邊形”的論文。該論文指出，對該5種凸五邊形的邊長與内角度數設定條件，“滿足條件的凸五邊形肯定能夠平鋪”。

例如，上面插圖類型1的凸五邊形，設定的條件是“1組連續三個内角之和為360°。滿足該條件的凸五邊形有無數個，而且的确所有這些凸五邊形都可以平鋪。萊因哈特的這個發現正是一個難題的開始，即“有多少種凸五邊形可以平鋪”。

同時，萊因哈特還證明了可以平鋪的凸六邊形隻有3種，不存在邊長數量多于凸七邊形且可以平鋪的圖形。也就是說，在當時，凸多邊形的平鋪之謎還隻限于凸五邊形。

新類型的發現者是一位家庭主婦

1968年,數學家理查德·克什納( Richard Kershner)在一篇數學論文中又提出了3種可以平鋪的凸五邊形(類型6-8)。其後一段時間，人們認為萊因哈特與克什納提出的8種凸五邊形已是全部。然而，這種停滞狀态被一位“非數學家”打破了。

1975-197年間，人們又發現了5種可以平鋪的凸五邊形。其中，發現第10種的是計算機學家理查德·詹姆斯( Richard James)三世，發現第9.11、12.13種的是家庭主婦瑪喬裡賴斯( Marjorie Rice)他們并非在大學裡研究數學的數學家。賴斯發現這幾個凸五邊形的時候已經高中畢業35年了。

賴斯喜歡上凸五邊形平鋪的契機是1975年科學雜志《科學美國人》上刊載的數學家馬丁·伽德納( Martin gardner,1914~2010)的專欄。賴斯閱讀了該專欄介紹的多邊形平鋪，而由于她之前愛好拼花手工，于是，在照顧孩子的空閑時間，她開始思考各種凸五邊形的平鋪圖案。她把這些圖案送到伽德納那裡，經過數學家的驗證，發現是新型可平鋪凸五邊形。在之後的1985年，大學生羅爾夫·斯坦因( Rolf stein)發現了第14種凸五邊形。

而在30年之後的2015年，數學家凱西·曼恩( Casey Mann)等研究人員使用超級計算機,發現了第15種凸五邊形。

據報告稱，目前發現的可平鋪的凸五邊形共15種，有些還在進行驗證。如果這15種就是全部，那其中1/3的發現者不是數學家。日本鋪砌設計協會會長荒木義明認為，“鋪砌就是這樣一個領域，哪怕是小孩子，通過實際進行圖形排列也可以發現數學的美與樂趣”。

讓我們畫一個神奇的平鋪圖案吧。

埃舍爾留下了許多用曲線勾勒的平鋪圖案版畫。這些簡單的多邊形平鋪圖案，成為了具有獨創性的複雜作品的創作基礎。他到底是如何創作出這些神奇作品的?在這裡，我們介紹一個最簡單的方法。

首先，選一個作為基礎的多邊形平鋪圖案(上圖)。當然可以選凸五邊形的平鋪圖案，但這次我們以更加簡單的長方形平鋪圖案為基礎進行思考。通過稍微改變該長方形的形狀，最終就可以畫出複雜的平鋪圖案了。

例如，我們使長方形右側凸出、左側凹陷，并使凸出部分的形狀與凹陷部分的形狀緻。這樣，就形成了稍微歪斜但可以平鋪的圖形。在該歪斜圖形的基礎上，進一步在上下兩邊重複同樣的操作，這樣變形後的圖形也可以實現平鋪。根據不斷重複變形所形成的圖形畫一幅可愛的圖畫，如此就完成了插圖中小鳥形狀的平鋪圖案。

如果最初選擇其他平鋪圖案，或使凸出、凹陷的位置發生變化，這樣就可以畫出其他圖案。在埃舍爾留下的筆記中，還記錄了幾種基本的平鋪圖案。大家可以運用這種方法，挑戰一下更加複雜的圖案，也是很有意思的事情。

用剪刀剪開正四面體，制作平鋪圖案

還有一種畫平鋪圖案的奇特方法。即，用剪刀剪開由4個正三角形組合而成的“正四面體”。但剪切時，需要經過正四面體的四個頂點,注意不能剪散了，如下圖。

不可思議的是，剪開後為一塊瓷磚的形狀，這種瓷磚無論哪種形狀都必定能夠平鋪。我們來看上面插圖的案例。即使切口是複雜的曲線，也能夠很好地鋪滿整個平面。仔細觀察展開圖，大家應該會明白，切口凸出的部分與别處凹陷的部分是相對應的。

在拼貼瓷磚時，凸出部分與凹陷部分相互契合，從而可以複原原來正三角形的面。在這個平鋪圖案中，每個用不同顔色區分的面完美地排列在一起，看上去像正三角形的平鋪。換句話說，這是以正四面體的展開圖之一……“四個正三角形形成的平行四邊形”(沿着邊一次性剪開)的平鋪為基礎，進行變形而得出的。

該方法是日本東京理科大學的秋山仁教授發現的，所以被命名為“秋山的四面體鋪砌定理”。隻要經過頂點，無論怎麼剪切，它的展開圖都能平鋪，這在正多面體中隻有正四面體可以實現。

平行移動也不會重合的神奇圖案

 前面我們介紹的平鋪圖案有一個共同點，即具有“平行移動整個圖案會出現重合”的性質。例如，我們來思考長方形的平鋪圖案。将該圖案整體向上下左右分别移動1個瓷磚大小時，應該會與原來的圖案完全重合。

也就是說，該圖案是由周期性圖樣不斷重複而形成的。

然而，在平鋪圖案中，有些圖案盡管有部分相似，但無論往哪個方向平行移動都不會完全重合。在這裡，我們稱這種圖案為“非周期鋪砌"。

下面我們來列舉應用非周期鋪砌的圖案。在圖A中，含有曲線、形狀相同的瓷磚呈螺旋狀排列。非常不可思議的是，這種瓷磚也可以無限鋪滿整個平面。圖B是藤田伸的作品“鳥與魚K-11”。以鳥和魚為主題的圖形，以某一個點為中心呈放射狀排列。

圖c是數學家、物理學家羅傑·彭羅斯爵士( Roger Penrose,1931-)于1972年思考出來的作品。彭羅斯發現，形狀不同的兩種菱形按照一定的法則擺放，無論怎麼拼貼，都能夠形成非周期鋪砌。這一組菱形瓷磚被稱為“彭羅斯瓷磚”。

像這樣使用歪斜的圖形或使用幾個不同形狀的瓷磚，可以畫出在周期性重複圖案中所看不到的獨特圖案。然而，在15世紀建成的中世紀伊斯蘭建築中，就已經發現了與彭羅斯瓷磚平鋪形成的圖案圖樣相同的裝飾。拼瓷磚匠人追求美感，于是，他們早于數學家實現了非周期鋪砌。

支持化學新發現的彭羅斯瓷磚，獲得諾貝爾獎呢

彭羅斯瓷磚的平鋪圖案還可見于物質中的微觀結構。固體物質要麼是原子和分子按照周期性規則有序排列的“晶體”，要麼是“非晶體”，在之前這是化學界的常識。例如，食鹽(氯化鈉)是氯原子和鈉原子(離子)交錯排列形成的結晶。玻璃主要是由矽和氧化合成的非品體物質。

1982年，以色列的化學家達尼埃爾·謝赫待曼( Danielle Shechtman,1941-)發現了颠覆該常識的事實。他通過對鋁錳合金的觀察發現，其原子并非按照周期性規則有序排列，而是像彭羅斯瓷磚平鋪一樣的結構。既不是晶體，也不是非晶體，而是以第三種“準晶體的狀态存在，這個成果打破了當時的常識，當時受到了化學家們的激烈批判。

然而，當時彭羅斯已經證明了非周期鋪砌是存在的。所以，彭羅斯瓷磚在理論上對準晶體的存在提供了支持。之後，人們逐漸發現了具有相似結構的物質，準晶體的存在也被廣泛認可,2011年，謝赫特曼獲得了諾貝爾化學獎。追求美感而發展起來的鋪砌幾何學，竟然意外地與化學聯系在一起。

拼瓷磚的世界隐藏着無限的可能性，如果在不是平面的球面上平鋪，就會完成上圖中所示的有趣作品。拼瓷磚的世界存在無數的圖案，還有許多未知的領域有待探索。就像有人發現了新型凸五邊形平鋪圖案一樣，大家也加入拼瓷磚的世界中去創新吧。

現在我們去看看美拼瓷磚吧。

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