【考試要求】

1.了解空間直角坐标系，會用空間直角坐标系刻畫點的位置；

2.借助特殊長方體(所有棱分别與坐标軸平行)頂點的坐标，探索并得出空間兩點間的距離公式；

3.了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐标表示；

4.掌握空間向量的線性運算及其坐标表示；

5.掌握空間向量的數量積及其坐标表示，能用向量的數量積判斷向量的共線和垂直.

【知識梳理】

1.空間向量的有關概念

2.空間向量的有關定理

(1)共線向量定理：對空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數λ，使得a＝λb.

(2)共面向量定理：如果兩個向量a，b不共線，那麼向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序實數對(x，y)，使p＝xa＋yb.

(3)空間向量基本定理：如果三個向量a，b，c不共面，那麼對空間任一向量p，存在有序實數組{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，其中，{a，b，c}叫做空間的一個基底.

3.空間向量的數量積及運算律

(1)數量積及相關概念

①兩向量的夾角：已知兩個非零向量a，b，在空間任取一點O，作＝a，＝b，則∠AOB叫做向量a與b的夾角，記作〈a，b〉，其範圍是[0，π]，若〈a，b〉＝，則稱a與b互相垂直，記作a⊥b.

②非零向量a，b的數量積a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.

(2)空間向量數量積的運算律：

①結合律：(λa)·b＝λ(a·b)；

②交換律：a·b＝b·a；

③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.

4.空間向量的坐标表示及其應用

設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).

【微點提醒】

1.在平面中A，B，C三點共線的充要條件是：＝x＋y(其中x＋y＝1)，O為平面内任意一點.

2.在空間中P，A，B，C四點共面的充要條件是：＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)，O為空間任意一點.

3.向量的數量積滿足交換律、分配律，即a·b＝b·a，a·(b＋c)＝a·b＋a·c成立，但不滿足結合律，即(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立.

4.若向量α的投影向量是γ，則向量α－γ與向量γ垂直，當向量γ與向量α起點相同時，終點間的距離最小.

【考點聚焦】

考點一　空間向量的線性運算

【規律方法】　(1)選定空間不共面的三個向量作基向量，這是用向量解決立體幾何問題的基本要求.用已知基向量表示指定向量時，應結合已知和所求向量觀察圖形，将已知向量和未知向量轉化至三角形或平行四邊形中，然後利用三角形法則或平行四邊形法則進行運算.

(2)首尾相接的若幹向量之和，等于由起始向量的始點指向末尾向量的終點的向量，我們把這個法則稱為向量加法的多邊形法則.

提醒　空間向量的坐标運算類似于平面向量中的坐标運算.

考點二　共線定理、共面定理的應用

【規律方法】

(1)證明空間三點P，A，B共線的方法

①＝λ(λ∈R)；

②對空間任一點O，＝x＋y(x＋y＝1).

(2)證明空間四點P，M，A，B共面的方法

①＝x＋y；

②對空間任一點O，＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)；

③∥(或∥或∥).

(3)三點共線通常轉化為向量共線，四點共面通常轉化為向量共面，線面平行可轉化為向量共線、共面來證明

考點三　空間向量的數量積及其應用　多維探究

角度1　數量積的坐标運算

角度2　數量積的線性運算

【規律方法】

1.利用數量積解決問題的兩條途徑：一是根據數量積的定義，利用模與夾角直接計算；二是利用坐标運算.

2.空間向量的數量積可解決有關垂直、夾角、長度問題

【反思與感悟】

1.利用向量解立體幾何題的一般方法：把線段或角度轉化為向量表示，用已知向量表示未知向量，然後通過向量的運算或證明去解決問題.其中合理選取基底是優化運算的關鍵.

2.向量的運算有線性運算和數量積運算兩大類，運算方法有兩種，一種是建立空間坐标系，用坐标表示向量，向量運算轉化為坐标運算，另一種是選擇一組基向量，用基向量表示其它向量，向量運算轉化為基向量的運算.

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