微積分中求導公式，級數展開式的推導及應用（彭彤彬）

本文簡介：

下面的推導基于導數定義，求導法則，積分概念與法則，級數展開式的收斂等知識，得到了微積分中所有的求導公式，各基本函數的多項式展開式，并用來得出了一些無理數或超越數如帶根号的數，對數值，e，π等精确值的表達式。

内容：

一、先是最簡單的幂的導數公式推導：

指數為正整數時，直接用定義推導。

指數為負整數時，要依據商的導數公式推導。

若是正分數指數幂，則有要用複合函數的求導法則推導。

若是負分數指數幂，則有要用商的求導公式推導。

指數為包含無理數的實數時，則需用對數函數求導公式（推導見後），複合函數求導法則來推導。

以上是幂函數的求導公式的完整推導。

二、指數函數，對數函數，三角函數的求導公式的推導。按推導順序一步步呈現如下。

由上面的推導可知e的重要性，沒有e的定義，第一個不是多項式的自然對數的導數就求不出來，從而後面的導數公式的推導就不能進行下去。

有了e的定義後，雖說暫時我們不知道e的精确值是多少，但我們可以推出自然對數，以e為底數的指數函數的導數，見上。

由此，結合指數及對數的運算性質及複合函數求導法則，可得到任意指數函數與對數函數的求導公式。見下：

為進一步開展以後推導，我們需要先由三角形函數定義及有關知識，推導出一個重要的極限值：當自變量趨向于0時，正弦函數與其自變量比值的極限為1。

有了上述重要極限，我們用複數運算，求導，積分等基本定義和運算法則，就可推導出e的ix次方與cosx，sinx之間的關系式，從而得出幾個重要常數0，1，i，e，π之間的著名關系式e的iπ次方與1的和為0。

具體過程見下：

有了上述關系式：

e＾（ix）＝cosx＋isinx，

我們就可用指數及運算表示三角函數，從而利用前面推出的指數函數求導法則，可推導出三角函數的求導公式。

具體見下：

可以看出，三角形函數求導公式簡單明了。

三、下面是反正弦、反餘弦、反正切的求導公式推導。

四、我們就想，指數函數，對數函數，三角函數，反三角函數它們能否表示成多項式的形式？若能，分别是什麼樣的？

我們先考慮以e為底數的指數函數分解成多項式，是個什麼情況，能得到什麼結論。

可以看出，e的x次方，展開成多項式形式時，含有無數多項和。

由此，令x＝1，我們得出了e的精确值表達式。

利用這個表達式，可以求出e的精确到小數後任意位的近似值。

例如：求e的近似值的誤差估計

其中100！，200！值利用手機中的科學計算器算得。

由這個式子可知，e不能表示為一個分數形式（若将後部帶省略号的一部分去掉，就可以通分變成一個分數即有理數，而這隻是e的近似值），從而知它一定是一個無理數。

有了e＾x的多項式展開式，結合e＾x＝cosx＋isinx，馬上就可以很容易推導出三角函數的多項式展開式。

見下：

對數函數的多項式展開式是什麼？

幂函數的多項式展開式及應用求帶根号數的值。

下面是反正弦、反餘弦、反正切的級數展開式及應用來求圓周率π值的精确表達式。

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