如果把數學看作是三條腿的凳子，數學的基本思想抽象、推理和模型就是它的三條腿。上一篇文章中簡單讨地論了數學的抽象，這篇文章讨論數學的第二條腿——推理。

數學來源于生活實踐，人們借助抽象，從勞動中得到數學所要研究的基本概念和法則：比如自然數、實數、點、線、面、以及各種數量關系概念等等。簡而言之，人們運用“抽象”把外部現實世界引入數學大廈。而推理是在基本概念和法則的基礎上，進一步得到數學的公式和命題，并促進數學的發展。

當然，抽象和推理并非隻是接力跑運動員，人們在通過篩子選出事物的“本質共性”，漏掉模棱兩可和無關的細節時，同樣需要應用純粹、明确的邏輯規則進行分析判斷。它們更像“你中有我，我中有你，相輔相成”的夫妻。

亞裡士多德

推理是什麼？

推理在人們的生活中可以說如影随形，無處不在。

“數學考試不及格會是什麼結果？”

“相親是素顔還是化妝？”

“兒子做作業拖拉磨叽怎麼辦？”

“為什麼身材成了大象腿，水桶腰？”

……

生活簡直就是無休止地制造問題，處理問題，而推理又貫穿始終。

初中學生做幾何證明題時，都知道要“雙向思考，動态看圖。”雙向思考指的是“正向思考和逆向思考”。

正向思考，是由已知條件出發，結合我們大腦中儲存的相關定理，最後推導出結論的證明過程。逆向思考，是先看結論，分析滿足這個結論需要用到什麼定理，需要湊齊哪些條件，然後結合題意繼續思考下去，最終“幹掉”問題。

動态看圖，則是要通過“旋轉、平移、翻折、輔助線”等方法，找出更多的“已知條件”，根據這些條件，進而推導出所需要的結論。

無論是正向思考、逆向思考或者動态看圖，都要求我們觀察、推廣、猜想一般性結論、論證結論，這個過程就是推理。

邏輯學家：推理就是從一個或者一些已知的命題得出新命題的思維過程或思維形式，其中已知的命題是前提，得出的新命題是結論。推理存在的基礎是：共性存在與個性之中，特殊性中包含着普遍性。

很多人一說起數學就一個字：難！其實相對于生活，數學是簡單的。因為數學是對符合邏輯規則的事物，進行邏輯推理和研究。而生活是複雜的，也不是所有現象都能找到它遵循的邏輯規則，理性思考難以解決生活抛給我們的所有問題，所以适當地“非理性”與不合邏輯并不是人性的弱點，而是人性的優點。

“意外絞刑”告訴我們，生活中處處都有意外。一名囚犯被告知他會在這周的某一天被處以絞刑， 但法官對囚犯說，“隻有在執刑當天的早上通知你之後，你才會知道行刑是 在哪一天”。所以囚犯想：這樣的話，行刑日就不可能是周日了，因為到周六還沒被處決，我就一定知道是在周日，這樣一來，我就會在前一天知道行刑日期，和法官的話不符。所以最晚的行刑日一定是周六。但是周五我要是沒被處決，周日又被排除 ，那我又提前一天猜到了行刑日是周六，這樣又和法官的話不符，所 以周六也不可能是行刑日。循環運用同樣的論證方式，行刑日也不可能是周五，周四，周三，周二，周一，也就是說，我不會被處以絞刑！結果周一那天，他就被處以絞刑了，這個囚犯行刑前很惱火：這太出乎意料了，我的邏輯到底哪裡出了錯。

推理的形式。

如果從推理的性質上看，可以分為歸納推理和演繹推理。

歸納推理，數學歸納法是由特殊概括出一般，或者是從個别性論斷到另外的個别性論斷的一種思維方法。歸納推理的結論所斷定的超出了前提所斷定的範圍，因此，前提的真不能保證結論的真，它是一種或然性推理。歸納方法不僅是一種研究方法，還是一種有創造性的探索式思維方法，它幫助人們從經驗過的東西出發推斷未曾經驗過的東西。可以說數學知識的發生過程就是歸納推理的應用過程。歸納推理包括歸納法、類比法、簡單枚舉法等。

演繹推理。是指從一般性原理到個别，或者是從一般性原理到另一個一般性原理的思維方法。演繹推理的結論所斷定的隐含在前提之中，所以是必然性推理，前提的真能夠保證結論的真。人們借助演繹推理，按照假設前提和規定的法則驗證那些通過推斷得到的結論，這便是數學的“證明”，通過證明得到的結論是正确的。演繹推理包括三段論、反證法、算法邏輯等。

弗朗西斯科-毛羅裡科

推理的可靠性。

要保證結論的正确性，就必須滿足三個條件：一是前提要真實；二是推理形式有效；三是前提和結論相關。作家王小波在《人性的逆轉》中有一段話：“邏輯學家指出，從正确的前提能夠推導出正确的結論，但從一個錯誤的前提就什麼都能夠推導出來。”就像羅素從2 2=5推導出羅素是教皇一樣。

如果你希望數學的結論像真理一樣“靠得住”，就必須有真實的、與結論相關的前提，并嚴格地遵循有效的推理形式。

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