高考數學中，有一類題型是一定會出現的，就是關于函數性質的綜合問題，包括單調性、奇偶性和周期性等。下面這道題就是高考數學關于函數性質的綜合真題。我們一起來看看題目，并且從中積累解決這類問題的經驗吧。

設函數f(x)的定義域R，f(x 1)為奇函數，f(x 2)為偶函數，當x ∈[1,2]時，f(x)=ax^2 b，若f(0) f(3)=6，求f(9/2).

分析：f(x 1)表示函數f(x)的圖像向左平移一個單位長度，f(x 2)則表示f(x)的圖像向左平移兩個單位長度。像這樣通過平移，可以得到奇函數和偶函數的圖像，即函數f(x)的圖像既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形，那麼f(x)就肯定是周期函數。因此第一步就是要證明函數f(x)是周期函數。且由于平移一個單位長度就得到奇函數的圖像，平移兩個單位長度就得到偶函數的圖像，因此函數f(x)肯定是以4為周期的。雖然這樣，我們還是要有一個推導過程的。除非是選擇題或填空題，我們才能依靠經驗，直接得到結果。

由f(x 1)的奇函數性質有f(-x 1)=-f(x 1)，注意不是f(-x 1)=-f(x-1)，後者表示的是f(x)是奇函數。

由f(x 2)的偶函數性質有f(-x 2)=f(x 2), 同樣不能寫成了f(-x 2)=f(x-2)，後者表示的是f(x)是偶函數。

因為x 2=(x 1) 1，所以f(x 2)=f((x 1) 1)=-f(-(x 1) 1)=-f(-x). 這裡再次利用了f(x 1)的奇函數性質。

所以f(-x 2)=f(x 2)=-f(-x), 這裡又再次利用了f(x 2)的偶函數性質。

又-f(-x)=-f(-x-2 2)=-(-f(-x-2))=f(-x-2), 這裡利用了上面推出來的等量關系f(x 2)=-f(-x)。

因此f(-x 2)=f(-x-2)，這就證明了f(x)是以4為周期的函數了。當自變量加一個數，同減一個數的函數相等時，函數就以這個數的兩倍為周期。

而f(0)=f(-1 1)=-f(1 1)=-f(2)，再次運用了f(x 1)的奇函數性質。

因為f(2)=4a b, 所以f(0)=-4a-b.

另一方面f(3)=f(-1)=f(-2 1)=-f(2 1)=-f(3), 前面運用了f(x)的周期性，後面還是利用了f(x 1)的奇函數性質。

所以f(3)=0. 這就可以得到一個關于a,b的二元一次方程，f(0) f(3)=-4a-b=6,

又f(1)=f(0 1)=-f(0 1)=-f(1), 這道題不斷重複地運用f(x 1)的奇函數性質。

所以f(1)=a b=0, 又得到一個關于a,b的二元一次方程，與上面的方程組成方程組，就可以解得：a=-2,b=2.

最後求f(9/2)=f(1/2)=f(-1/2 1)=-f(1/2 1)=-f(3/2)=-9a/4-b= 5/2. 前面仍運用了f(x)的周期，而到最後，還在運用f(x 1)的奇函數性質。

原題是一道選擇題。不過這裡老黃把它當做一道解答題來分析。隻有這樣，才能真正理解題目的思路和解法。

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