函數與方程看上去是兩個不同的概念,但實際上它們之間有着密切的聯系,如方程f(x)=0的解就是函數y=f(x)的圖象與x軸的交點的橫坐标。
如對于函數y=f(x)(x∈D),把使f(x)=0成立的實數x叫做函數y=f(x)(x∈D)的零點。
函數的零點與相應方程的根、函數的圖象與x軸交點間的關系:
方程f(x)=0有實數根⇔函數y=f(x)的圖象與x軸有交點⇔函數y=f(x)有零點。
如果函數y=f(x)在區間[a,b]上的圖象是連續不斷的一條曲線,并且有f(a)·f(b)<0,那麼,函數y=f(x)在區間(a,b)内有零點,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,這個c也就是方程f(x)=0的根。
因此,在解決問題過程中,我們如果能通過函數與方程的互相轉化,對解決問題可以起到很大的幫助。
函數思想,是指用函數的概念和性質去分析問題、轉化問題和解決問題。要掌握和理解函數思想,就要學會用運動變化的觀點,分析和研究具體問題中的數量關系,通過函數的形式,把這種數量關系表示出來并加以研究,從而使問題得到解決。也就是說,函數思想是對函數概念的本質認識,在解題中,要善于利用函數知識或函數觀點分析、觀察、處理問題。
方程思想,是從問題中的數量關系入手,運用數學語言将問題中的條件轉化為數學模型(方程、不等式、或方程與不等式的混合組),然後通過解方程(組)或不等式(組)來使問題獲解。
函數是高中數學的重要内容之一,貫穿于整個高中數學内容。方程思想則是動中求靜,研究運動中的等量關系。
方程思想與函數思想是密切相關的。如果在所研究的問題中,變量間的數量關系是用解析式的形式表示出來的,則可把解析式看成一個方程,通過解方程的手段或對方程的研究,使問題得到解決。典型例題1:
已知函數有零點(方程有根)求參數取值常用的方法:
1、直接法:
直接根據題設條件構建關于參數的不等式,再通過解不等式确定參數範圍.
2、分離參數法:
先将參數分離,轉化成求函數值域問題加以解決.
3、數形結合法:
先對解析式變形,在同一平面直角坐标系中,畫出函數的圖象,然後數形結合求解.函數思想具體表現為:
運用函數的有關性質,解決函數的某些問題;
以運動和變化的觀點分析和研究具體問題中的數學關系,通過函數的形式把這種關系表示出來并加以研究,從而使問題獲得解決;
對于一些從形式上看是非函數的問題,經過适當的數學變換或構造,使這一非函數的問題轉化為函數的形式,并運用函數的有關概念和性質來處理這一問題,進而使原數學問題得到順利地解決。尤其是一些方程和不等式方面的問題,可通過構造函數很好的處理。典型例題2:
在運用函數與方程思想解題時,要注意以下幾點:
1、要重視基礎知識和基本技能的培養和訓練,深刻理解集合、函數、反函數的有關概念。
2、要能熟練讨論函數性質(如單調性、奇偶性、周期性、極值等),掌握函數圖象特征的分析(如範圍、截距、凹凸性、漸近線、變化趨勢等),函數圖像的變換(平移變換、對稱變換、伸縮變換等),特别是要掌握與研究函數性态有關的數學知識(如向量的平移、函數的導數等)。
3、要能将函數、方程、不等式有機結合起來,互相轉化。能用集合的語言加以表述,用參數的工具來體現運動變化,用高等數學的觀點來指導問題的解決。
4、要能充分運用數學建模的思想,從數學的角度發現問題、提出問題、進行探索與研究,培養實踐能力和創新意識。
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