——分專題講解因式分解的方法與利用

上面兩篇文章的内容說明了因式分解是什麼的問題，本篇想說明為什麼要學習因式分解。

初中因式分解試題或需要利用因式分解解題中有兩個基本問題，一是一個可約的多項式究竟如何去分解?二是分解後的多項式怎樣判斷還可不可約。因此，因式分解的内容蘊含着豐富的數學思想方法，在初中數學學習中我們有必要去了解它的内涵和價值。

一、因式分解中的數學思想

數學思想是連接數學知識和能力的橋梁，是數學解題的靈魂。在因式分解過程中，如果能靈活地運用數學的思想，往往能更好地解決因式分解問題。

1.因式分解中的整體思想

所謂整體思想，就是把一些看似彼此獨立實質上緊密相聯的量作為整體，通過研究問題的整體形式和結構，整體與局部的内在聯系來解決問題。在因式分解中，有些多項式，表面上看較複雜，若通過整理把其中某些項看成一個整體，利用整體思想去把握，則能使多項式結構明朗化，能化繁為簡，化難為易。

在整體思想的指導下，我們利用“提”整體、“當”整體、“湊”整體、“拆”整體、“換”整體等方法，使得新與舊達到和諧的統一。

2.因式分解中的類比思想

波利亞說：“類比是偉大的引路人。”類比是根據兩個對象有某些相同或類似的屬性，并且其中一個對象還有某些另外的屬性作為前提，提出另一個對象也有這些相同或類似屬性的一種思想方法。根據多項式因式分解試題之間的異同點，抓住其本質特征，運用類比思想去處理，則能将生疏的問題轉化為熟悉的問題。

通過從學習目的性、形式、結果上類比，我們能認識從數到式的發展過程，是特殊到一般的思維體現，有助于我們自覺産生對概念的遷移，使我們真正理解因式分解。

3.因式分解中的轉化思想

我們容易掌握與應用結構比較簡單的題型進行因式分解，但對于需要應用轉化思想處理靈活性較大、技巧性較強的題型時，就有些把握不住。分解因式實質上是一種手段，隻有掌握好分組分解法、折項、添項法三種基本的因式分解方法，應用轉化思想就能起到關鍵的作用。

分析:本題若直接用公式法（立方差）分解，過程很複雜，觀察a b、b c與a 2b c的關系，可尋找一種代換的方法，設a b=A, b c=B， a 2b c=A B。

在分解因式時，靈活運用公式，緊緊抓住“轉換”兩個字，讓我們理解公式中字母既可用具體的數代換，也可以用單項式、多項式甚至更複雜的代數式替換，對原式是非常重要的。

4.因式分解中的方程思想

因式分解中的方程思想，是從問題的數學關系入手，運用數學語言将問題轉化為數學模型(如方程等)，然後求解，使問題得以解決的一種數學思想。具體是根據多項式的特點設未知數，根據系數相等列出方程或方程組，求出未知數的值；或者将多項式列為等于零的方程，在一定範圍内求出根，然後，利用除法等方法，達到分解因式的目的。

因式分解中的方程思想與我們常見的列方程（組）是完全不同的，在因式分解中隻是等式間直接或間接地體現着方程關系。

開展練習：

二、因式分解在學習中的作用

初中代數式的問題，可以概括為四大類：計算、求值、化簡和論證，解代數式問題的關鍵是恒等變形與計算、分類讨論和數形結合。而因式分解是解決代數式問題的基礎之一。

在分式、二次根式、二次方程、二次函數、不等式、數學求根作圖甚至幾何中，因式分解可以讓多項式出現因式，所以在初中重大比賽和考試中用到因式分解的題很多，是個極為重要的工具，它滲透在各種代數式問題之中，可以貫穿代數知識成為一線。

因式分解過程中常用的數學知識點有：五大基本運算定律、指數律、符号法則、乘法公式等。因式分解是各種運算及代數式恒等變形的綜合應用，幾乎觸及到恒等變形的大部分技能和技巧：如，分組、換元、拆項、添項(包括配方法)等，所以因式分解不僅是初中數學的一個重點，也是一個難點，是掌握方法和運用的途徑，對于鞏固已學知識大有幫助，能提高學習數學的興趣。

因式分解是研究變通關系的，具有轉化與化歸的思想。因式分解對于發展自我的邏輯推理能力，培養分析問題和解決問題的能力，以及今後學習高等數學有着重大意義。

繼續練習：

注：本文有些内容超出中考要求，但考慮要鞏固知識，強調方法，開闊視野，因式分解試題“打擦邊球”也是必需的。

下一專題《KWL在因式分解複習中的應用（4）》

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