【考點聚焦突破】

考點一　構造函數證明不等式

【規律方法】

1.證明不等式的基本方法：

(1)利用單調性：若f(x)在[a，b]上是增函數，則①∀x∈[a，b]，有f(a)≤f(x)≤f(b)，②∀x1，x2∈[a，b]，且x1<x2，有f(x1)<f(x2).對于減函數有類似結論.

(2)利用最值：若f(x)在某個範圍D内有最大值M(或最小值m)，則∀x∈D，有f(x)≤M(或f(x)≥m).

2.證明f(x)<g(x)，可構造函數F(x)＝f(x)－g(x)，證明F(x)<0.先通過化簡、變形，再移項構造不等式就減少運算量，使得問題順利解決.

考點二　利用“若f(x)min>g(x)max，則f(x)>g(x)”證明不等式

【規律方法】

1.在證明不等式中，若無法轉化為一個函數的最值問題，則可考慮轉化為兩個函數的最值問題.

2.在證明過程中，等價轉化是關鍵，此處f(x)min>g(x)max恒成立.從而f(x)>g(x)，但此處f(x)與g(x)取到最值的條件不是同一個“x的值”.

考點三　不等式恒成立或有解問題　多維探究

角度1　不等式恒成立求參數

【規律方法】

1.破解此類題需“一形一分類”，“一形”是指會結合函數的圖象，對函數進行求導，然後判斷其極值，從而得到含有參數的方程組，解方程組，即可求出參數的值；“一分類”是指對不等式恒成立問題，常需對參數進行分類讨論，求出參數的取值範圍.

2.利用導數研究含參數的不等式問題，若能夠分離參數，則常将問題轉化為形如a≥f(x)(或a≤f(x))的形式，通過求函數y＝f(x)的最值求得參數範圍.

角度2　不等式能成立求參數的取值範圍

【規律方法】

1.含參數的能成立(存在型)問題的解題方法

a≥f(x)在x∈D上能成立，則a≥f(x)min；

a≤f(x)在x∈D上能成立，則a≤f(x)max.

2.含全稱、存在量詞不等式能成立問題

(1)存在x1∈A，任意x2∈B使f(x1)≥g(x2)成立，則f(x)max≥g(x)max；(2)任意x1∈A，存在x2∈B，使f(x1)≥g(x2)成立，則f(x)min≥g(x)min.

【反思與感悟】

1.證明不等式的關鍵是構造函數，将問題轉化為研究函數的單調性、最值問題.

2.恒(能)成立問題的轉化策略.若f(x)在區間D上有最值，則

(1)恒成立：∀x∈D，f(x)>0⇔f(x)min>0；

∀x∈D，f(x)<0⇔f(x)max<0.

(2)能成立：∃x∈D，f(x)>0⇔f(x)max>0；

∃x∈D，f(x)<0⇔f(x)min<0.

【易錯防範】

1.證明不等式，特别是含兩個變量的不等式時，要注意合理的構造函數.

2.恒成立與能成立問題，要注意理解“任意”與“存在”的不同含義，要注意區分轉化成的最值問題的異同.

【核心素養提升】

【邏輯推理】——兩個經典不等式的活用

邏輯推理是得到數學結論，構建數學體系的重要方式，是數學嚴謹性的基本保證.利用兩個經典不等式解決其他問題，降低了思考問題的難度，優化了推理和運算過程.

(1)對數形式：x≥1＋ln x(x>0)，當且僅當x＝1時，等号成立.

(2)指數形式：ex≥x＋1(x∈R)，當且僅當x＝0時，等号成立.

進一步可得到一組不等式鍊：ex>x＋1>x>1＋ln x(x>0，且x≠1).

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