利用“補形”思想這一橋梁，可以使數學的思維方法更活躍、更簡捷，啟發學生的直覺思維，培養思維的靈活性、獨創性。利用“補形”思想可以把不規則形體補成規則形體；不熟悉形體補成熟悉形體；殘缺形體補成完整形體.使思維更靈活、知識結構更完整、更充實、方法更加完美。

下面談談“補形”思想在解題中的具體應用。

1. 把不規則形體補成規則形體

例 1，1個12cm×12cm的正方形都被連接兩條鄰邊的中點的直線分成、兩片，如圖1所示，把這6片粘在一個正六邊形的外面，如圖2所示，然後折成多面體，如圖3，試求其體積。

分析： 如圖3，将立體圖形從局部考慮，分割為一個正六棱錐S-ABCDEF與3個三棱錐S-PAB，S-QCD，S-REF的體積之和，通過一個一個的計算可獲得其解;

但将局部所求幾何體，通過補形，補成一個正方體，如圖4，則所求幾何體的體積是正方體體積的一半，即

2．把不熟悉形體補成熟悉形體

例2, 如圖所示，有一塊長為3a，寬為a的矩形鉛皮，沿着虛線的折痕折疊成一個“粽子形”封閉幾何體，則它的體積是( )。

A．　a/6；　　　B．a/3；　　　　C．　a/2；　　　　D．a。

分析：此題其棱柱的底面不能看成是等邊三角形.因為與在折疊前後垂直關系不變，象這樣的非标準圖形用“補”的方法進行轉化求體積.

解：将其補成三棱柱（如圖（2）），知三棱柱的體積為：

“粽子形“封閉幾何體的體積為

故選B.

3．把一種幾何體補成另一種幾何體

例3，已知：四面體各面都是邊長為13、14、15的全等三角形，

(1)求三棱錐的體積；

(2)求頂點D到底面的距離.

解： (1)如圖甲，設AB=13，AC=15，将圖甲中的三棱錐補成如圖乙所示的長方體，由此，三棱錐的體積就轉化成長方體的體積與四個相等的三棱錐的體積之差.

設長方體的三邊長分别為x，y，z; 則：

解之得：

而

(2)設D到底面的距離為h，則：

即

例4, 求棱長為a的正四面體的對棱距離.

解： 設正四面體為ABCD，将其補成正方體AC'BD'A'CB'D，使正四面體内接其中，則正方體的棱長即為正四面體對棱之間的距離.

∴棱長為a的正四面體對棱距離是

例5 , 已知四面體S-ABC内接于球，且SA=a，SB=b，SC=c，三側棱SA，SB，SC兩兩垂直，求球的表面積.

分析：由于四面體三側棱兩兩垂直，所以可将其補成球的内接長方體，則該長方體的對角線長即為球的直徑.

解：将四面體補成球的内接長方體，則長方體的對角線長為

所以球的直徑為：

則

4．把殘缺形體補成完整形體

例6, 如圖，在多面體ABCDE中，AE⊥面ABC，BD∥AE，且AC=AB=BC=BD=2，AE=1。求多面體的體積。

解：将多面體ABCDE補成如圖所示的直三棱柱ABC A'DC'，由已知條件不難得出該多面體的體積為直三棱柱體積的一半。故

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