↑最近刷小■書看到網友們熱議一道小學幾何題——

如圖所示，ABCD是一個正方形，邊長為2厘米，F、E分别是BC、CD邊上的中點，連接BE、AF、DF，得到一塊陰影三角形，求陰影部分面積.

⑨老師發現較多被提到的解法有：“相似三角”、“建坐标系”、“定積分”、“勾股定理”等等……

以上這些都是中學及以上階段才會學到的方法[1]，可見大多數網友并不知道（或是遺忘了）小學生是如何解這道題的[2].

所以熱衷科普的⑨老師打算借此機會給大家分享一下用“小學生專用份數法”來解這道幾何題——

這道幾何題，熟練使用比與比例或是會設份數的小學生是完全可以做出來的，用的方法一點也不高大上，⑨老師把這樣的方法叫作——“砍大山”[3].

砍大山也就是等高模型，左山右山一樣高，根據S△=底×高÷2，高相同，于是底的份數決定面積份數

【思路】

1. 将AF與BE的交點命名為G，并将DF與BE的交點命名為H，我們需要求面積的陰影三角形名為△FGH；
2. 該三角形的三條邊均為斜邊[4]，且底與對應高未知，所以不能直接套用公式“S△=底×高÷2”來算[5]；
3. 于是考慮包含△FGH在内的大三角形△HFB，有以下關系[6]：S△FGH＝S△HFB－S△GFB
4. 連接BD、CH，在燕尾模型[7]BCD-H中解出三角形HFB的面積；
5. 連接AE、EF，在風筝模型[8]ABFE-AF-BE中解出三角形GFB的面積；
6. 将第4條中△HFB的面積與第5條中△GFB的面積代入第3條中的等式“S△FGH＝S△HFB－S△GFB”，即可求出陰影部分△FGH的面積.

【步驟】

解題步驟按照圖中圓圈序号①~⑦

【詳解】

1. 如上左圖所示，将AF與BE的交點命名為G，并将DF與BE的交點命名為H，我們需要求面積的陰影三角形名為△FGH，考慮包含△FGH在内的大三角形△HFB，有以下關系：S△FGH＝S△HFB－S△GFB
2. 如上中圖所示，連接BD、CH，紫色線條加粗的三角形BCD與其内部交于H點的三條線段HB、HC、HD構成燕尾模型，并設S1、S2、S3分别是S△HBD、S△HBC、S△HCD，于是有2個比例：①S1∶S2=DE∶EC=1cm∶1cm=1∶1②S1∶S3=BF∶FC=1cm∶1cm=1∶1綜合以上兩個比例得：S1∶S2∶S3＝1∶1∶1
3. 我們需要在燕尾模型BCD-H中求三角形HFB的面積，而△HFB包含于S2，所以不妨先求S2——三角形BCD的面積是正方形ABCD的一半[9]，且S2的面積是三角形BCD的三分之一[10]于是有以下算式：S2=S△BCD×1/(1 1 1)=(2cm×2cm÷2)×(1/3)=2/3cm²
4. 在等高模型HCB-HF中[11]，有三連比：S△HCF∶S△HFB∶S2=S△HCF∶S△HFB∶S△HCB=CF∶FB∶CB=1cm∶1cm∶2cm=1∶1∶2
5. 所以△HFB的面積是S2的一半：S△HFB=S2×(1/2)=2/3cm²×(1/2)=1/3cm²
6. 如上右圖所示，連接AE、EF，紫色線條加粗的四邊形ABFE與其内部交于G點的兩條對角線AF、BE構成風筝模型，另設三角形ABE、三角形BEF的面積分别為S4、S5，根據風筝模型ABFE-AF-BE，有比例：S4∶S5=AG∶GF
7. S4對應三角形ABE的底邊AB長2cm，底邊AB對應的高是2cm，所以[12]：S4=2cm×2cm÷2=2cm²
8. S5對應三角形BEF的底邊BF長1cm，底邊BF對應的高是EC長1cm，所以：S5=1cm×1cm÷2=0.5cm²
9. 将第7條與第8條的數據代入第6條中的比例有：AG∶GF=S4∶S5=2cm²∶0.5cm²=4∶1
10. 我們需要在風筝模型ABFE-AF-BE中求三角形GFB的面積，考慮包含△GFB在内的等高模型BAF-BG，有三連比：S△BGA∶S△GFB∶S△ABF=AG∶GF∶AF
11. 再将第9條中的“AG∶GF=4∶1”代入第10條中的三連比：S△BGA∶S△GFB∶S△ABF=AG∶GF∶AF=4∶1∶(4 1)=4∶1∶5
12. △GFB的面積是△ABF的五分之一，所以有以下算式[13]：S△GFB=S△ABF×(1/5)=(AB×BF÷2)×(1/5)=(2cm×1cm÷2)×(1/5)=1/5cm²
13. 最後，把第5條與第12條中的數據代入第1條中的關系式，求得陰影部分的面積即：S△FGH=S△HFB－S△GFB=1/3cm²-1/5cm²=2/15cm²

答：陰影部分面積為2/15平方厘米.

【總結】

1. 如大家所見，幾何題的思路其實并不困難，難的是其繁瑣的過程，老師課上講一道有難度的幾何題往往會花半小時以上，其中大部分時間都在“畫圖并用字母、符号、算式描述各種點、線、角、面之間的關系”上，又或是把時間花在“複述并運用已有的定理和模型”上，很多同學以為自己已經懂了，但是讓他自己在白紙上重寫一遍完整過程，或者讓他來講幾何題，他便會發現自己疏忽了很多細節；
2. 小學階段的所有數學問題都是有其“最小顆粒”的[14]，也就是說題目中的數量可以細分到份份相等，然後根據“已知份數”以及“已知與未知的關系”去求未知份數；
3. 自五年級學了分數量率、比與比例相關的計算之後，我們求三角形的面積往往都不再是套用三角形面積公式，而是需要運用“砍大山”（等高模型）進行份數化運算，以“砍大山”為源頭，可以演化出常見的五大模型：鳥頭、金沙、鑽風、蝴蝶、燕尾[15]；
4. 在⑨老師看來，之所以這麼多人為小學生抱不平，認為這類幾何題簡直就是“求小學生心理陰影面積”——甚至孩子明明上過奧數課，課上老師也介紹了各種三角形模型，很多人也還是認為“小學生隻是在套用更高級的公式而已，學了沒有任何意義”——那僅僅是因為大家都沒有真正搞懂這類幾何題的“考點”[16]；
5. 99%的小學生都沒有深入理解到這類幾何題其實是“圖形化的比例應用題”，和大家校内經常做的工程、濃度、經濟等分百小應用題一樣，其實都是可以“份數化”的，一旦份數化，它的難度就死死限定在“小學生的程度”[17]，所以⑨老師認為并不超綱；
6. 這類幾何題不但不超綱，更是對小學生“數形結合”思維的有益拓展；
7. 最後附上⑨老師的課堂闆書與筆記（五大模型的體系、結論、證明）——

↓PS：準确地講，鑽石模型隻需要一條對角線，另一條“對角線”可以是折線.

【參考】

1. ^因為參與讨論的人幾乎都是中學及以上學曆，隻記得最近學會的解題方法其實能夠理解.
2. ^或許他們也不想知道，隻是單純認為題目太虐小孩了，小孩心理陰影面積∞.
3. ^“砍大山”是⑨老師對等高模型的戲稱，等高模型是三角形五大模型的源頭，它的原理其實非常簡單：任意三角形ABC過頂點A連接底邊BC上的任意點D，三角形ABC被AD分割為左右兩個小三角形，兩個三角形等高——如果兩個三角形面積不同，那一定是底不同引起的，所以“左三角”與“右三角”的面積之比等于底邊之比BD∶DC.
4. ^這裡的斜邊是指不在水平或垂直方向上的邊.
5. ^小學階段求三角形面積如果不能直接套公式來算，要麼用公式計算别圖形的面積并用諸如“陰影等于整體減空白”的容斥原理間接求面積，要麼用三角形等高模型及其演化出的各種比例模型（五大模型）通過份數來算.
6. ^傳說中的“陰影等于整體減空白”大法.
7. ^燕尾模型是指：一個任意三角形ABC的内部有任意一點O，讓O分别連接三個頂點A、B、C，可以将△ABC内部劃分出三塊小三角形OAB、OAC、OBC，這三個三角形中的任意兩個的面積比等于這兩個三角形沿分界線方向“投影”在底邊的長度之比.
8. ^風筝模型是指：一個任意凸四邊形ABCD，連接兩條對角線，對角線AC、BD交于O點，有S△ABD∶S△BCD=AO∶OC，也有S△ABC∶S△ACD=BO∶OD，也就是說，一個凸四邊形被某條對角線分出的兩個三角形的面積之比等于另一條對角線穿過各自内部的長度之比，這個結論又被形象地稱為“肉比肉等于簽比簽”. （PS：當“凸四邊形”變為“凹四邊形”時，風筝模型變為燕尾模型）
9. ^正方形沿對角線折疊可重合為一個等腰直角三角形，展開後的兩個三角形各占正方形的一半面積.
10. ^三角形BCD被三等分為S1、S2、S3，所以S2的面積是三角形BCD平均分成的3份中的1份.
11. ^等高模型的“砍大山”解釋：以H為山頂，以CB為山腳下，從山頂沿HF一刀劈下，将大山分為左山和右山，左山、右山、大山一樣高，所以左山、右山、大山的面積比等于左底比右底比大底.
12. ^S4（S△ABE）其實是正方形ABCD的一半模型，可通過在CD邊上滑動E點進行平行線間等積變形，最終将面積變為S△ABC（對角線一半）.
13. ^三角形ABF是一個直角三角形，它的兩條直角邊AB、BF分别長2cm、1cm，所以它的面積很好算：2cm×1cm÷2=1cm².
14. ^跟量子力學很像，是離散的一份一份的.
15. ^這裡總結的五大模型（鳥頭模型、金字塔與沙漏模型、鑽石與風筝模型、梯形蝴蝶模型、三燕尾模型）為⑨老師原創，與主流公認的“五大模型”有出入.
16. ^一道幾何題一定要用中學的知識點才能做出來，除了超前學習中學知識别無他法，那就不應該出現在小學，那才是真正的超綱.
17. ^根本不需要用到中學的高級解題工具比如“相似三角形”、“建坐标系”、“定積分”等等.

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