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狄利克雷函數詳細解釋

生活 更新时间:2024-07-20 11:16:47

狄利克雷函數詳細解釋(狄利克雷函數及其性質)1

狄利克雷簡介

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狄利克雷

狄利克雷(1805-1859),一生輝煌,師出名門,曾經是數學王子高斯的弟子,後就任于柏林大學,1831年被選為普魯士科學院院士,并與1855年接替師傅高斯,成為哥延根大學的教授。狄利克雷在數論,分析學和數學物理等多領域做出過傑出貢獻,當然最經典的莫過于狄利克雷函數。

狄利克雷函數

狄利克雷函數詳細解釋(狄利克雷函數及其性質)3

狄利克雷函數

從我們之前學習過的初等函數(幂指對函數、三角函數)等可知,函數具有一些優良的性質,比如是平滑且連續的曲線。雖然有些函數有不可求導的點,但是這些點一定是有限的。

但是,狄利克雷不這麼想。他在1837年提出這樣的想法:“怎樣去建立x與y之間的關系無關緊要,隻要在某區間上的每一個确定的x值,y都有确定的值,那麼y叫做x的函數”,順便提出了上面的狄利克雷函數,這個函數不可連續,且不可求導。

狄利克雷函數的性質
  1. 函數的值域是{1,0}
  2. 函數是偶函數,滿足f(-x)=f(x)
  3. 函數是周期函數,滿足f(x a)=f(x),a為有理數,但是不存在最小正周期
  4. 函數不是單調函數
  5. 圖像上不存在四個點,可以構成正方形
  6. 圖像上存在三個點,可以構成三角形
狄利克雷函數例題

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