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狄利克雷函數詳細解釋

生活更新时间:2025-02-10 08:54:36

狄利克雷函數詳細解釋（狄利克雷函數及其性質）1

狄利克雷簡介

狄利克雷函數詳細解釋（狄利克雷函數及其性質）2

狄利克雷

狄利克雷（1805-1859），一生輝煌，師出名門，曾經是數學王子高斯的弟子，後就任于柏林大學，1831年被選為普魯士科學院院士，并與1855年接替師傅高斯，成為哥延根大學的教授。狄利克雷在數論，分析學和數學物理等多領域做出過傑出貢獻，當然最經典的莫過于狄利克雷函數。

狄利克雷函數

狄利克雷函數詳細解釋（狄利克雷函數及其性質）3

狄利克雷函數

從我們之前學習過的初等函數（幂指對函數、三角函數）等可知，函數具有一些優良的性質，比如是平滑且連續的曲線。雖然有些函數有不可求導的點，但是這些點一定是有限的。

但是，狄利克雷不這麼想。他在1837年提出這樣的想法：“怎樣去建立x與y之間的關系無關緊要，隻要在某區間上的每一個确定的x值，y都有确定的值，那麼y叫做x的函數”，順便提出了上面的狄利克雷函數，這個函數不可連續，且不可求導。

狄利克雷函數的性質

函數的值域是{1,0}
函數是偶函數，滿足f（-x）=f（x）
函數是周期函數，滿足f（x a）=f（x），a為有理數，但是不存在最小正周期
函數不是單調函數
圖像上不存在四個點，可以構成正方形
圖像上存在三個點，可以構成三角形

狄利克雷函數例題

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