目前理論研究最完善的是簡單應力下的平直單一裂縫模型，裂縫擴展形态近似于一對平行闆，裂縫面垂直于最小主壓應力，這是所有理論模型的前提條件。

最早是PKN^[1-2]、KGD^[3-4]和Penny-shap(or Radial) ^[5]模型，如圖1.1所示，反映無限大各向同性介質中裂縫橫截面輪廓的擴展變化與流體壓力的時空對應關系，稱為2D模型。該類模型的提出，得益于1946年斷裂力學先驅Sneddo和 Green提出的内壓條件下Griffith裂紋的張開位移解^[6]，以及扁平圓形或橢圓裂紋端部應力解^[7-8]。2D模型定義的流體方向隻沿裂縫長度方向，隻能反映長度擴展過程中寬度變化，其本質是一維問題。而實際的垂向裂縫在沿側向水平擴展時，裂縫高度也要發生變化，而PKN模型假設了高度不變。所以2D模型應用受限。

水力壓裂力學模型

上世紀80年代Pseudo-3D（簡稱P3D）模型^[9-10]在改進PKN模型基礎上應用而生。P3D與2D模型的區别是流體可以沿裂縫高度方向流動，它不僅可以反映裂縫長度增長過程中寬度的增加，而且可以模拟裂縫高度的變化。在三分層岩層中，裂縫傳播不限于儲層高度，可以進入頂、底闆圍岩，隻不過其垂直進入上、下圍岩的速度遠小于側向水平擴展的速度，所以，裂縫總體上是長度大于高度。可見P3D在模拟豎向上任意的裂縫形狀受到限制。在此背景下Planar3D（簡稱PL3D）模型^[11-12]應用而生，PL3D以精細的網格（Fixed or moving）劃分精确地模拟裂縫高度變化。

上述模型的共同特點是，水壓裂縫視為單一裂縫，裂縫面似一對平行平闆，其數學模型是一個邊界不斷移動的邊初值問題，求解斷裂前緣（footprints）、裂縫寬度、流體壓力等關于時間和空間的函數。這類問題求解的難度在于裂縫彈性響應與流體壓力的多 尺度耦合以及裂縫前緣的動力學問題，涉及流體粘性、裂尖韌性、介質滲透性等材料屬性，以及流體前緣（fluid front）相對裂尖前緣（fracture front）的滞後（lag）和合并（front coalence, zero lag）所帶來的多種裂尖傳播機制，對這些問題的理論分析傾注了大量數學力學家的智慧和心血。

P3D和PL3D模型的數值求解主要采用DDM(Discontinual Displacements Method)方案^[13-18]，始于Shah RC and Kobayashi（1971）^[19]的工作，将流體壓力表示為兩個平面坐标的三階多項式，将其代入流體Positive連續性方程，通過Raylsigh-Ritz 方法得到該微分方程的一階變分方程等效的代數方程，求得流體壓力表達式的各項系數。此後，巴西Estadual大學Garcia(1997)^[20]等人的工作也采用類似的方法。美國科學家Adachi（2010）^[21]則是利用Green函數表示的彈性平衡關系，将流體壓力和裂縫高度表示為裂縫寬度的函數，從而将裂縫面擴展轉變為兩點間邊值問題，并采用4階配分方案進行數值計算。

水力壓裂一系列重要問題的解決當推Peirce教授（University of British Columbia，Canada）的工作。Peirce(2009)^[22]提出均勻漸近分析(Uniform Asymptotic Analysis method )方法解決裂尖耦合的多尺度動力學問題，此後Peirce（2015）^[23]提出隐式水平設置算法（Implicit level set algorithm，ILSA），用于裂尖耦合問題中的裂縫前緣定位問題，利用該算法無需使網格大小匹配最小尺度的力學行為，也無需對網格重新劃分以适應時間和空間尺度的變化，ILSA方法利用裂縫尖端局部速度自動識别裂尖漸近行為的主導區尺度，通過主導區單元寬度積分，利用該值對所有裂尖單元進行設置以達到識别裂縫邊界。

幾乎與P3D和PL3D同時，康奈爾大學開始了全3D模型（Full3D）研究，編制了數值程序FRANC3D^[24]。裂縫由成對的平行闆單元拼接而成，每個單元包含闆幾何和拓撲信息，根據流體壓力和應力方向，這些平行闆可以拼接為裂縫交叉、分支以及融合。 2000年康奈爾大學Carter et al^[25]更新了Full3D數值方法，編制新的計算程序HYFRANC3D。采用邊界元計算彈性響應，有限元計算流體運動，可以反映裂縫在井邊扭轉、彎曲和轉向。顯然，在裂縫單元沒有流體壓力與裂縫張開度的設置，所以模拟結果未見裂縫擴展過程中流體壓力的變化。

近年來，一些大型通用數值計算程序被用來計算水壓裂縫的擴展。 Cohesive-FEM用于水力壓裂模型，是根據Barrenblatt and Dugdale提出的斷裂前緣粘聚區（Cohesive Zone）模型，通過定義預設界面單元張開位移與張拉力的關系，并逐步叠代，實現水壓裂縫擴展，計算在大型有限元軟件ABAQUS平台上實現。值得注意，所計算裂縫擴展方向需要提前預設，這與前已述及的2D，P3D以及PL3D模型一樣，屬于單一預設裂縫，因此，它的使用範圍受到限制，隻能适用簡單應力水平岩層。這方面的工作有澳大利亞CSIRO的Chen zuoran（2009）^[26]，以及國内的薛炳, 張廣明,劉合，王瀚，彪仿俊, 劉合，張士誠，潘林華，張士誠，張勁，張汝生，王強，張祖國等的工作^[27-32]。

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