初中數學中，我們已經知道二次函數在中考中的重要性，而且二次函數與一元二次方程的關系，也是考試中必須掌握的，因為與一元二次方程的關系，就涉及到與坐标軸交點的問題，以及根的相關情況。今天和同學們一起學習二次函數與一元二次方程的關系，希望同學們能夠明确研讨方向，掌握求解方法。

函數y=ax^2 bx c(a≠0)，當y=0時，得到一元二次方程ax^2 bx c=0(a≠0)，那麼一元二次方程的解就是二次函數圖象與x軸交點的橫坐标。因此，二次函數圖像與x軸的交點情況決定一元二次方程的根的情況。二次函數y=ax^2 bx c(a≠0)與x軸的交點情況有三種：有兩個交點，有一個交點，沒有交點，它們分别對應着一元二次方程ax^2 bx c=0的根的三種情況。

通過上面的表格，我們就可以非常清楚的看到，二次函數與一元二次方程的關系就是研讨二次函數圖像與x軸的交點問題，常通過研究一元二次方程的根的問題來解決；反過來，一元二次方程的根的問題，又常用二次函數的圖像來解決。

那麼如何判斷二次函數的圖像與x軸交點的情況，也會考試中經常會考到的方向，對于二次函數y=ax^2 bx c(a≠0)求解的基本方法是：(1)b²-4ac>0⇔抛物線與x軸有兩個交點；(2)b²-4ac=0⇔抛物線與x軸有唯一一個交點（頂點在x軸上）;(3)b²-4ac<0⇔抛物線與x軸沒有交點。

設對應一元二次方程ax^2 bx c=0兩實數根為x1,x2，(1)當∆≥0，且x1x2>0時⇒兩根同号。①當∆≥0,且x1x2>0,x1 x2>0時⇒兩根同為正數。②當∆≥0,且x1x2>0,x1 x2<0時⇒兩根同為負數。(2)當∆>0,且x1x2<0時⇒兩根異号；①當∆>0,且x1x2<0,x1 x2>0時，兩根異号且正根的絕對值較大；②當∆>0,且x1x2<0,x1 x2<0時，兩根異号且負根的絕對值較大。

例題1：已知二次函數y=-x^2 2x m的部分圖象如圖所示，則關于x的一元二次方程-x^2 2x m=0的根為？

解析：本題考查二次函數與一元二次方程的關系，從圖示中可以看出，隻需要将x=3,y=0，代入函數解析式就可解出m.

例題2：下列關于二次函數y=ax^2-2ax 1(a>1)的圖象與x軸交點的判斷，正确的是（).

A.沒有交點 B.隻有一個交點，且它位于y軸右側 C.有兩個交點，且它們均位于y軸左側

D.有兩個交點，且它們均位于y軸右側

解析：要判斷二次函數y=ax^2-2ax 1(a>1)的圖象與x軸交點的問題就是要判斷對應一元二次方程ax^2-2ax 1=0(a>0)有沒有實數根的問題。即是判斷判别式的值的正負情況，要進一步判斷二次函數的圖像與x軸交點在y軸右側或左側，即是進一步判斷一元二次方程兩實根的正、負情況。最終得到正确答案是D。

希望同學們自行領會二次函數與y軸交點的情況，掌握此類題目的解題思路，學會解題方法，掌握二次函數與一元二次函數的關系。

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