一、“米勒問題”及相關結論

1471年，德國數學家米勒提出了一個有 趣的問題：在地球表面什麼部位， 一根垂直的 懸杆呈現最長?即在什麼部位，視角最大?由 于該問題有德國數學家米勒提出，因此最大視角問題又稱之為“米勒問題”

米勒問題 如圖1,已知A,B是平面内兩個定點，C是直線l上一個動點，當C在何處時，∠ACB最大?

圖1

米勒問題結論 作△ABC的外接圓O,當圓O 與直線l剛好相切于點C時，∠ACB最大.

圖2

米勒問題證明 如圖2,△ABC的外接圓O與直線l相切，C為切點.假設C'為直線l上異于點 C的任意一點，連結AC',BC'﹒設AC' 與圓O的交點為D,連結BD,則∠ADB= ∠ACB.又因 為∠ADB>∠AC'B,所以∠ACB>∠AC'B, 即∠ACB為最大角.

米勒問題評注 如圖3,連結BA并延長，交直線l于點P,△ABC的外接圓與直線l相切于點C, 則由切割線定理，可得PC²= PA ·PB.由此可由PA,PB的長度來确定點C的位置.

圖3

二、米勒問題在中考題中的應用

1.解決最大張角問題

例1 如圖4,頂點為M的抛物線y=αx² bx 3與x軸交于 A(-1,0),B兩點，與y軸交于點C,過點C作 CD⊥y軸交抛物線于另 一個點D,作DE⊥x軸，垂足為點E.雙曲線y=6/x，(x>0) 經過點D,連結MD,BD .

圖4

(1)求抛物線的解析式；

(2)點N,F分别是x軸，y軸上的兩點，當 M,D,N,F為頂點的四邊形周長最小時，求出點N,F的坐标；

(3)動點P從點O出發，以每秒1個單位長度的速度沿OC方向運動，運動時間為t秒，

當t為何值時，∠BPD的度數最大?(請直接寫 出結果)

例1簡析 (1)由A(- 1,0),D(2,3),易求抛 物線解析式為y= - x² 2x 3 .

( 3 ) 方法1 找切點，用半徑

圖5

如圖5,作△PBD的外接圓G,連結DG, BG,PG,則由“米勒問題”,可知當圓G與y軸相切于點P時，∠BPD的度數最大.

設P(0,t),圓G的半徑為r,則有

GB = GD = r, G(r,t).

由B(3,0), D(2,3)以及兩點間距離公 式，可得

（r-2)² (t-3)²=r² ， （r-3)² (t-0)²=r²

解得 t1= 9 - 2√15 , t2 = 9 2√1 5 ( 舍去)

∴當t=9-2√15時，∠BPD的度數最大.

例1方法1評析 本題第(3)問是米勒的最大張角問題，隻有熟悉了“米勒問題”的隐圓模型，學生才能快速找到解題思路，從而破解難點.

圖6

例1方法2 利用切割線定理

如圖6,延長BD交y軸于點H,則當P為 △PBD的外接圓與y軸的切點時，∠BPD的度數最大 .

由切割線定理，可得HP²= HD · HB.

易求直線BD的解析式為y= - 3x 9, ∴H點坐标為(0,9).

由此可求得HD=2√10,HB=3√10, ∴HP=√(HD ·HB) =2√15,

∴t=9-2√15

例1方法2評析 本解法是建立在熟悉“米勒問題” 的隐圓模型基礎上，明确P即為△PBD的外接圓與y軸切點，從而聯想到切割線定理，求得HP的長，進而求得P點坐标.

2.解決角的存在唯一性問題

圖7

例2 如圖7,在直角坐标系中，四邊形OABC是平行四邊形，經 過A(-2,0),B,C三點的抛物線y =ax² bx 8/3，(a<0)，與x軸的另一個交點為D,其 頂點為M,對稱軸與x軸交于點E.

(1)求這條抛物線對應的函數表達式；

(2)已知R是抛物線上的點，使得△ADR的面積是平行四邊形OABC的面積的3/4,求點R的坐标；

(3)已知P是抛物線對稱軸上的點，滿足在直線MD上存在唯一的點Q,使得∠PQE = 45°,求點P的坐标.

例2簡析

(1)易求抛物線對應的函數表達式為y=-x²/3 2x/3 8/3

(3)易得抛物線的對稱軸x=1,D(4,0), M(1,3),

∴yDM =-x 4, ∠MDE=45° .

顯然，當點Q與點D重合時，P在M點或 在M點關于x軸的對稱點上時，∠PQE =45°, 且符合唯一性，即此時P點坐标為(1,3)或 (1,- 3).

如圖8,當在直線DM上存在唯一的不與點D重合的點Q,使得∠PQE=45° 時，作△PQE 的外接圓G,則∠PGE=90°,且GQ⊥DM .

圖8

過點G作GF⊥ME于點F,交直線MD于點H,連結GP,則△GQH,△PEG和△MFH均 為等腰直角三角形.

設P點的坐标為(1,2m),則EF= FG = m,GQ=GP=√2m,GH=2m,

∴FH = 3m.

又MF = 3 - m , ∴3 - m = 3 m ,

解得m=3/4，∴P點坐标為（1，3/2）

綜上，符合條件的P點有3個，分别是( 1, 3)，(1,-3),（1，3/2）

例2評析 本題的第(3)問本質上仍是米勒 最大張角問題.由于本題條件的特殊性，因此需先考慮Q點的特殊位置，即點Q與點D重合時的情況.當點Q不是點D時，問題可轉化為在直線MD上找點Q,使得∠PQE的最大值為45°,此時點Q符合唯一性.這樣角的存在唯一 性問題就轉化為“米勒”最大張角問題，從而可構造隐圓來解決.

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