函數，大家都很熟悉，可以說是中學數學學習階段最主要、最核心的内容之一。一個人如果要想學好數學，在中考高數學中取得高分，那麼他就必須學好函數，掌握好函數所有知識内容。因此，可以毫不誇張地說，函數是整個中學數學的基礎。

函數的知識内容之所以會成為中高考數學的重點與熱點，那是因為跟函數相關的題型，可以千變萬化、多種多樣，能很好考查大家運用知識解決問題的能力，考查大家數學邏輯能力，考查大家在數學解題過程中表現出來的思維能力等等。

因此，今天我們就一起來講一講函數當中非常重要的一個性質，就是函數的周期性。函數的周期性是作為函數的一個基本性質，不僅常常出現在數學函數問題當中，而且我們如果利用函數的周期性去解決問題，往往能使一個複雜問題得到更加簡便的解決。

因此，對于任意實數（自變量有意義），當我們的自變量增大或減小時，函數值有規律的重複出現，我們就稱之為周期性。

用具體數學語言去講就是：若T為非零常數，對于定義域内的任一x，使f(x)=f(x T) 恒成立，則f(x)叫做周期函數，T叫做這個函數的一個周期。

假如函數f(x)=f(x T)(或f(x a)=f(x-b)（其中a b=T）,則說T是函數的一個周期，T的整數倍也是函數的一個周期。

典型例題1：

關于y＝f(x)，給出下列五個命題：

①若f(－1＋x)＝f(1＋x)，則y＝f(x)是周期函數；

②若f(1－x)＝－f(1＋x)，則y＝f(x)為奇函數；

③若函數y＝f(x－1)的圖象關于x＝1對稱，則y＝f(x)為偶函數；

④函數y＝f(1＋x)與函數y＝f(1－x)的圖象關于直線x＝1對稱；

⑤若f(1－x)＝f(1＋x)，則y＝f(x)的圖象關于點(1,0)對稱．

填寫所有正确命題的序号________．

解析：由f(－1＋x)＝f(1＋x)可知，函數周期為2，①正确；

由f(1－x)＝－f(1＋x)可知，y＝f(x)的對稱中心為(1,0)，②錯；

y＝f(x－1)向左平移1個單位得y＝f(x)，故y＝f(x)關于y軸對稱，③正确；

兩個函數對稱時，令1＋x＝1－x得x＝0，故應關于y軸對稱，④錯；

由f(1－x)＝f(1＋x)得y＝f(x)關于x＝1對稱，⑤錯。

故正确的應是①③.

答案：①③

大家要記住一個概念，就是最小正周期。

對于一個函數f(x)，如果它所有的周期中存在一個最小的正數，那麼這個最小正數叫f(x)的最小正周期。

簡單地說：在函數圖象上，最小正周期是函數圖象重複出現需要的最短距離。

如對于正弦函數y=sinx, 自變量x隻要并且至少增加到x 2π時，函數值才能重複取得。所以正弦函數和餘弦函數的最小正周期是2π。

值得注意：如果以後無特殊說明，周期指的就是最小正周期。

周期函數性質：

1、若T（≠0）是f(X)的周期，則-T也是f(X)的周期。

2、若T（≠0）是f(X)的周期，則nT（n為任意非零整數）也是f(X)的周期。

3、若T1與T2都是f(X)的周期，則T1±T2也是f(X)的周期。

4、若f(X)有最小正周期T*，那麼f(X)的任何正周期T一定是T*的正整數倍。

5、T*是f(X)的最小正周期，且T1、T2分别是f(X)的兩個周期，則 （Q是有理數集）

6、若T1、T2是f(X)的兩個周期，且 是無理數，則f(X)不存在最小正周期。

7、周期函數f(X)的定義域M必定是雙方無界的集合。

重要推論：

1、若有f(x)的2個對稱軸x=a,x=b.則T=2|a-b|

2、若有f(X）的2個對稱中心（a,0）(b,0)則T=2|a-b|

3、若有f(x)的1個對稱軸x=a,和1個對稱中心(b,0)，則T=4|a-b|

同時，在很多數學問題當中，周期性問題往往會和函數的奇偶性聯系在一起。周期性與奇偶性相結合的綜合問題中，周期性起到轉換自變量值的作用，奇偶性起到調節符号作用。因此，大家如果想要更能更好的去解決周期性類問題，也要深入掌握好函數奇偶性的性質，如奇、偶函數的有關性質：

1、定義域關于原點對稱，這是函數具有奇偶性的必要不充分條件；

2、奇函數的圖象關于原點對稱，偶函數的圖象關于y軸對稱；反之亦然；

3、若奇函數f(x)在x＝0處有定義，則f(0)＝0；

4、利用奇函數的圖象關于原點對稱可知，奇函數在原點兩側的對稱區間上的單調性相同；利用偶函數的圖象關于y軸對稱可知，偶函數在原點兩側的對稱區間上的單調性相反．

典型例題2：

大家一定要記住，利用函數的周期性是求解周期函數問題是基本的方法。此類問題的解決應注意到周期函數定義、緊扣函數圖象特征，尋找函數的周期，從而解決問題。

在研究函數周期性過程中，我們發現函數的周期性還充分體現了數學美。函數學習，不要想的太枯燥，要學會從抽象的背後發掘數學美，發掘内在的數學思想，最終提升自身的數學素養。

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