一個數列的第n項與該數列的其他一項或多項之間存在的對應關系稱為數列的遞推公式。比如著名的斐波納契數列的遞推公式為： 。

在數列（二）中涉及到幾類數列的遞推公式，由遞推公式計算通項公式。以下羅列：

一、形如

利用累加法進行求解：

對于f(n)，有幾種如下常見形式：

二、形如

其中限定為等差數列。

限定為常數數列。

限定為等比數列，當然此時。

三、形如（第二節形式可看做本節形式的簡化版）

特征方程解法合适用于關于n的多項式f(n)最高次k較小時。較大時運算量增大。

更為複雜，繼續舉例：

特征方程解法對于多項式非常不友好。

（舉例8出自于自然數求和周邊-數列（二）第六節，是解決問題時遇到的實例。）

四、二階遞推公式

4.1 形如

方法2：特征方程法。

，根據韋達定理，滿足

。

特殊的：當方程

。

小結：對于數列形式的二階線性遞推公式時，特征方程為 通項公式為： ； 通項公式為： ； 其中X，Y根據初始條件确定。

由于本系列内容尚未涉及，暫不進行讨論）

舉例9：數列

解：根據已知條件，

舉例10：斐波納契數列的遞推公式為： ,。

4.2 形如

此時轉化為第三節中的形式。題型多變，不一定能一次轉化成功。根據第三節中的推導結論,

部分形式的f(n),可利用特征方程法求解。f(n)為含多項式或指數函數時，可利用特征方程法。

舉例12：在數列(二)第六節中，需求數列 已知：

。

解：将題目中關系式消除中間量，得：

五、歸納

本期探讨了根據數列的幾類線性遞推公式計算數列的通項公式。

• 1)

• 2)

• 3)

• 4)

• 5)

分析：

• 對于2型，事實上為3型的特殊形式，當f(n)是關于n的單項式，且n的次數為0。
• 對于1型，事實上為3型的特殊形式，當A=1。
• 等差數列，事實上為1型的特殊形式，當f(n)是關于n的單項式，且n的次數為0。

• 對于4型，事實上為5型的特殊形式，當f(n)是關于n的單項式，且n的次數為0，系數為0。

• 一階線性遞推公式 的特征方程為。無重根時且特征根僅有，通項公式形如 。

• f(n)中含有指數函數時，底數可理解為特征方程的特征根，當然，特征根不是僅有1個。若不含有指數函數，理解為特征根 (注意區分本文中特征方程的根和特征根的含義 ) 。

• 二階線性遞推公式 的特征方程為 。無重根時且特征根僅有，通項公式形如 。當 ，即有三重根時， 通項公式形如 。
• 對特征根可以這樣理解：

挖坑：将舉例12中的結論作為已知條件，即 求數列的通項公式。

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