位似圖形的定義

1.定義：如果兩個圖形不僅相似，而且每組對應頂點的連線相交于一點，那麼這兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心，這時的相似比也稱為位似比.

溫馨提示：(1)位似圖形一定是相似圖形，而相似圖形不一定是位似圖形；

(2)兩個位似圖形的位似中心可能位于圖形的内部、外部、邊上或頂點上；

(3)兩個位似圖形可能位于位似中心的兩側，也可能位于位似中心的一側.

2.常見模型：

3.性質：(1)位似圖形的任意一對對應點到位似中心的距離之比等于相似比；

(2)位似圖形對應點的連線交于一點；

(3)位似圖形的對應線段平行(或在同一條直線上)且比相等；

(4)位似圖形是相似圖形，所以它具有相似圖形的一切性質.

注意：(1)位似圖形中任意兩對對應點的連線的交點就是位似中心；

(2)一對對應邊與位似中心(不在同一直線上)形成的兩個三角形相似.

4.位似圖形的畫法：(1)确定位似中心；

(2)分别過位似中心和原圖的各關鍵點作直線；

(3)根據相似比，找出所作位似圖形的對應點；

(4)按原圖連接各點，得到放大或縮小的圖形.

注意事項：(1)符合條件的位似圖形往往不唯一；

(2)作出的位似圖形一般有兩種情況，一是各對應點在位似中心的同側，二是各對應點在位似中心的兩側；

(3)作位似圖形時，要注意相似比的順序性.

5.位似變換與坐标：一般地，在平面直角坐标系中，如果以原點為位似中心，畫出一個與原

圖形位似的圖形，使它與原圖形的相似比為k，那麼與原圖形上的點(x,y)對應的位似圖形上的點的坐标為(kx,ky)或(-kx,-ky).

6.“一線三等角”在相似三角形中的應用素養解讀：邏輯推理是指從一些事實和命題出發，依據邏輯規則推出一個命題的思維過程.主要包括兩類：一類是從特殊到一般的推理，推理形式主要有歸納、類比；一類是從一般到特殊的推理，推理形式主要有演繹.邏輯推理是得到數學結論、構建數學體系的重要方式，是數學嚴謹性的基本保證，是人們在數學活動中進行交流的基本思維品質.

所謂“一線三等角”是指在一條直線上出現了三個角相等，在這樣的模型中，存在相似三角形.若出現了邊相等的條件，相似就轉化為全等.

經典例題集錦：

1.如圖，在▱ABCD中，AC與BD相交于點O，E為OD的中點,連接AE并延長,交DC于點F，則S△DEF∶S△AOB的值為 ( 　)

 A.1/3 　 B.1/5 　 C.1/6 　 D.1/11 

2.如圖，在正三角形ABC中，D、E、F分别是BC、AC、AB上的點，DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，則△DEF的面積與△ABC的面積之比等于 (　　)

 A.1∶3　 B.2∶3　 C.√3∶2　 D.√3∶3

3.如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=2，BC=6，AB=7，點P是線段BA上的一個動點，連接PC、PD.若△PAD與△PBC是相似三角形，則滿足條件的點P有 (　　)

 A.5個　　 B.4個　 C.3個　 D.2個

4.如圖，已知在△ABC中，點D、E分别在邊AB、AC上，DE∥BC，AD∶BD=2∶1，點F在AC上，AF∶FC=1∶2，連接BF，交DE于點G，那麼DG∶GE等于 (　　)

 A.1∶2　 B.1∶3　 C.2∶3　 D.2∶5

5.如圖，在平面直角坐标系中，正方形ABCD與正方形BEFG是以原點O為位似中心的位似圖形，且相似比為1/3，點A、B、E在x軸上，若正方形BEFG的邊長為6，則C點的坐标為 (　　)

 A.(3,2)　 B.(3,1)　 C.(2,2)　 D.(4,2)

6.已知CD為Rt△ABC斜邊上的中線，E、F分别是AC、BC中點，則CD與EF關系是( )

A.EF＞CD B.EF=CD C.EF＜CD D.不能确定

7.如圖，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，動點P從B點出發，在BC上移動至點C停止.即PA=x，點D到直線PA的距離DE為y，則y關于x的函數解析式是  (　　)

 A.y=12x　 B.y=12/x  C.y=3/4x　 D.y=3/4x

8.如圖，在△ABC中，點、E分别在AB、AC邊上，DE∥BC，∠ACD=∠B，若AD=2BD，BC=6，則線段CD的長為 (　　)

A.2√3 　 B.3√2 　 C.2√6 　 D.5

9.如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2 cm，D為BC的中點，若動點E以1 cm/s的速度從A點出發，沿着A→B的方向運動，設E點的運動時間為t s(0≤t<4)，連接DE，當以B、D、E為頂點的三角形與△ABC相似時，t的值為(　　)

 A.2　 B.2.5或3.5　 C.2或3.5　 D.2或2.5

10.如圖，在▱ABCD中，E是邊AB的中點，連接DE，CE，BD，CE和BD相交于點F，若△BEF的面積為1，則▱ABCD的面積為 (　　)

 A.8　 B.10　 C.12　 D.16

以下内容為付費内容34%

11.如圖，已知點F是△ABC的重心，連接BF并延長，交AC于點E，連接CF并延長，交AB于點D，過點F作FG∥BC，交AC于點G.設△EFG、四邊形FBCG的面積分别為S1,S2，則S1∶S2=　　 　 .

12.如圖，将直線y=-2x沿y軸向上平移，分别交x軸、y軸于C、D兩點.若點P是二次函數y=-x² 3x的圖象在y軸右側部分上的一個動點，且以CD為直角邊的△PCD與△OCD相似，則點P的坐标為　　 　 .

13.如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，Rt△MPN中，∠MPN=90°，點P在AC上，PM交AB于點E，PN交BC于點F，當PE=2PF時，AP=　　 　.

14.如圖，邊長為2的正方形ABCD中，E是AB的中點，P在射線DC上從D出發，以每秒1個單位長度的速度運動，過P作PF⊥DE,當運動時間為　　　 秒時，以點P、F、E為頂點的三角形與△AED相似.

15.如圖，一次函數y=3/4x 3的圖象與x軸、y軸分别交于點A、B，與反比例函數y=3/x(x>0)的圖象交于點C，點P是反比例函數y=3/x(x>0)圖象上的一點，作PQ⊥x軸于點Q，連接OP.當點P的坐标為　　　 時，△OPQ與△OAB相似.

16.如圖，已知正方形ABCD中，點E是BC邊上的一個動點，EF⊥AE交CD于點F，以AE、EF為鄰邊作矩形AEFG，若AB=4，則點G到AD距離的最大值是　　 　.

17.如圖，在平行四邊形ABCD中，連接對角線AC，延長AB至點E，使BE=AB，連接DE，别交BC,AC于點F、G.

(1)求證：BF=CF；

(2)若DG=4，求FG的長.

18.如圖，,AB為半圓O的直徑,C為BA延長線上一點，CD切半圓O于點D，連接OD作BE⊥CD，交CD的延長線于點E，交半圓

O于點F.已知CE=12，BE=9.

(1)求證：△COD∽△CBE；

(2)求半圓O的半徑r的長.

19.如圖，點D在以AB為直徑的☉O上，,AD平分∠BAC，DC⊥AC，過點B作☉O的切線交AD的延長線于點E.

(1)求證：直線CD是☉O的切線；

(2)求證：CD·BE=AD·DE.

20.如圖，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一點，AE⊥DE.

(1)求證：△ABE∽△ECD；

(2)若AB=4,AE=BC=5，求CD的長；

(3)當△AED∽△ECD時，請寫出線段AD、AB、CD之間的數量關系，并說明理由.

更多精彩资讯请关注tft每日頭條，我们将持续为您更新最新资讯!