說起微積分，大家有什麼印象？想必很多人會聯想到棘手的計算吧。甚至還會有人想到這種情景——在學校的考試中，隻是因為計算稍稍出錯，就被大幅扣分，凄慘至極。

哎呀，這位姑娘似乎認為解決微積分問題，隻要套用背誦的公式就足夠了。這就是那種在學校的考試中掌握了應試要領的典型人物。

不過，對于如何看待微積分，還存在像上面這位博士一樣的一類人，雖然會計算微積分更好，但最開始學習微積分時，重點并不在計算上。

數學家是擅長數學的人，所以他們也很擅長計算吧？不，不一定是這樣的。令人意外的是，數學家不僅會有不少單純的計算失誤，而且也常常會在思路上出現錯誤。

創立了組合拓撲學的天才數學家亨利·龐加萊也是經常犯錯誤的，據說就連他的論文中也存在不少錯誤。

但是，龐加萊思考的方向在本質上是準确無誤的。隻要思考的方向正确，即使稍微出點兒差錯，對整體而言也并不是緻命的。在學校，考試之所以依據計算結果的正确與否來确定成績，是因為根據思路來給分數比較困難。

同樣，本文的側重點也放在了“思考的要領”上，我認為這是微積分的本質。微積分的本質在于方法。簡單說，如果抓住思考的“要領”，那麼就能輕而易舉地理解複雜算式。思考的方向找對了，之後隻要根據需求掌握計算技術就可以了。

本文中幾乎沒有出現積分符号。你可能會擔心，不用積分符号的話是否能夠真正理解相關内容。其實，先接觸微積分的本質内容，之後出現的公式、算式将會意外地變得易于理解。

積分應用的基礎

小學所學的圖形面積、體積的計算，實際上是與積分世界相連通的。積分之所以會出現，是因為人類需要把握那些可見的東西，例如計算物體的面積、體積等。

初等教育中的圖形計算，通常隻針對長方形、圓形等規規矩矩的圖形。而現實情況中，這些知識往往難以直接去應用。

這是因為，現實世界中存在的物質，并非都是學校中學習的那些規則的形狀。相反，那些規則的形狀可以說隻是例外或理想化的情況。所以，對人類而言，測量現實情況中各種複雜圖形大小的技術非常必要。

日本小學的家政課會講授烏冬面、土豆塊等簡易料理的烹饪方法。之所以特地在學校中講授這些内容，是因為這些都是烹饪中的基礎方法。實際上我們自己做菜時，多會在商店中購買成品的烏冬面，也基本不會頻繁烹制土豆塊。但是，如果掌握了這些基礎烹饪方法的話，就能夠烹制出更多複雜的菜品。例如，烏冬面的烹饪方法可以運用到面包、比薩或者意大利面中，從土豆塊中學到的方法可以拓展到土豆沙拉或者油炸餅中。

如果把在小學初中學的長方形、圓形的知識比作烏冬面、土豆塊，那麼微積分就相當于面包、土豆沙拉等應用性料理。多虧有了積分法，人類才能夠計算各種圖形的面積和體積。使用積分，無論是多麼奇怪的形狀，隻要下功夫就能夠計算出結果，這真是巨大的進步。

将思考應用于實際，用自己的力量去推導面積、體積，這才是積分的樂趣，也是學習積分的真正意義。

所有圖形都與長方形相通

圖形的種類紛繁多樣，其中面積計算最為簡單的就是“長方形”了。

說到這裡，大家是不是想起了小學時初學面積計算的情景？在圖形面積計算中，三角形、平行四邊形、梯形、圓形等圖形都是放到長方形之後學習。長方形的面積僅用“長×寬”就可以計算，可以說是最簡單、樸素的圖形。順便提一下，在數學世界中，正方形被看作是“一種特殊的長方形”。

掌握長方形面積的計算方法後，就可以将其應用到三角形的面積計算中。反過來說，如果不知道長方形面積的計算方法，也就無法計算三角形的面積。

這是因為，三角形的面積可以看作是“以三角形的一條底邊為邊長、該邊上的高為另一邊的長方形面積的一半”。根據圖2可知，三角形的面積正好是對應長方形面積的一半，也就是說“三角形的面積=底×高÷2”。

那平行四邊形是什麼情況呢？平行四邊形可以看作是兩個以平行四邊形的邊為底邊的三角形的組合。

梯形的情況又如何呢？梯形可以看作平行四邊形的一半。如圖4所示，兩個相同的梯形并列組合形成了平行四邊形。因此，梯形的面積也是以長方形為基礎計算的，為“（上底 下底）×高÷2”。

從三角形到平行四邊形，再到梯形，雖然這三個圖形看上去沒什麼直接關聯，但它們的面積公式都是以長方形面積為基礎推導出來的。

和變為了積分

計算圓的面積時，小學中采用的方法是用“正方形”來劃分圓的内部空間。這樣做的原因實際上很簡單，就是因為方格紙的方格是正方形。

求圓的面積，要領是精細地劃分圓。也就是說，劃分的形狀應該不限于正方形。因此，我們可以把圓分成“細長的短條”來求面積。比如圖8，我們嘗試把圓分成細長的短條，也就是長方形的組合。

雖說如此，但既然說到了符号，從現在開始我們就嘗試使用積分符号吧。公式也會從此處開始出現，不過内容和剛才的講解是完全一緻的，所以請輕松地讀下去。和業界人士使用行業術語講話一樣，使用數學符号講解數學，相同的内容在表達上也會看起來非常優雅。

在圖9中，我們把圓裁切成非常窄的短條。水平方向為x軸。這時，圓的裁切方向和x軸正好是垂直關系。

在此基礎之上，我們選取一條寬度為Δx的短條。Δ是希臘字母，讀作“德爾塔”（Delta），多用作“差”（difference）的符号，表示非常小的數值。

現在，我們用公式來表示這條短條的面積。

短條的面積=短條在x值對應的長度×Δx

若問為什麼要算出短條面積，這是因為我們要從這裡開始計算圓的面積。把這些細長短條的面積相加，就是圓的面積。具體來說，把從左端到右端的短條全部相加就可以了。

在這裡，我們逐漸縮小短條的寬度，縮小到再也不能縮小的程度。這樣一來，短條與其說是長方形，倒不如說看起來更像“一條線”。無數根“線”相加，其結果逐漸接近“圓的面積”。用積分符号來表示的話，可以寫成以下形式。

公式中那個像把字母S縱向拉長的符号音同integral（積分）。積分原本就是“和”的意思，因此積分符号也是取自拉丁語中“和”的單詞Summa的首字母S。這是一位叫作萊布尼茨的數學家（兼哲學家）提出的。

在此簡單補充一點兒德爾塔（Δ）和d的内容。

Δ和d，這兩個符号都源于“差”（difference）。二者的不同之處在于，Δ是“近似值”，而英文小寫字母d是“精确值”。

“精确值”是什麼意思呢？例如圓周率π，3.14是其近似值，無限循環的3.141 592 653 589 793 238 462 643 383 279…就是其“精确值”。近似值在某種情況下必定是不正确的，而精确值在任何情況下都是正确的。

所以，我們可以這樣理解dx：“将原本用短條寬度Δx計算的數值，看作趨向于0的‘精确值’。”

總結一下，德爾塔（Δ）和英文小寫字母d分别在以下情況中使用。

德爾塔（Δ）——當存在寬度（寬度大于0）之時。

英文小寫字母d——當寬度趨向于0，計算極限數值時。

另外，雖然微積分中會出現各種各樣的公式、符号，不過初學者最開始不太理解這些東西也沒有關系，對Δ和d也同樣如此。

初中入學考試中的積分

我們來思考兩方面内容：“有效分割圖形的方法”和“積分符号的使用方法”。為了便于講解，我選取了初中入學考試試題，并嘗試使用積分方法解答。

下面，我們将接觸到旋轉體。旋轉體的體積是日本高中教科書中必定會出現的内容，初中入學考試中則常常會出現簡單的旋轉體題目，例如下面的題目。

如圖所示，存在一個半徑為2 cm的圓闆，距離該圓闆圓心4 cm處存在一條豎軸，讓圓闆以豎軸為軸旋轉一周，求出此時所形成的圖形的體積。

題目出自日本東海大學附屬高輪台高等學校中等部2007年入學考試試題，内容表述有部分修改。

該如何解答這個問題？

圓闆繞軸旋轉一周，這時會變成什麼樣的圖形呢？

如圖43所示，圓闆旋轉後就變成了這種甜甜圈形。這種甜甜圈的形狀在數學中被稱作圓環體。

為了計算出圓環體的體積，我們來尋找最樸素的“積分”法。那什麼樣的方法最有效呢？

如圖44所示， 我們可以考慮從水平方向切割圓環體。

如圖45所示，切割圓環體所得的截面如同從一個大圓中挖去了一個同心的小圓。求截面面積的話，隻要知道大圓和小圓的半徑就可以了。計算方法和計算缽體截面面積時的相同。

難點在于，圓的半徑該如何計算呢？

下面來嘗試将我們的思路畫到題目給出的圖中。取旋轉軸為x軸，并将各個點标注上字母（圖46）。

在x軸取點H。這樣一來，圖45截面上的兩個圓，大圓的半徑為AH，小圓的半徑為BH。

實際上，我們的思路中最關鍵的一點在于“用H的高度去切割圓環體”。着眼于這點就可以發現：我們可以使用勾股定理。

接着，設點A、點B的中點為M。這時，根據勾股定理可知，AM（BM）的長為根号下4−x2。也就是說，大圓的半徑AH為

小圓的半徑BH為

具體的計算過程在此省略。

圓環體的體積可以看作是，在從下面（x=−2）到上面（x=2）的範圍内，衆多厚度為Δx的截面積（薄切片）的組合（截面積之和）。使用積分符号，可以用如下表示：

這樣一來，我們就求出了圓環體的體積。

我們來思考一下這個式子中“有意義的部分”。從整體結構看，16π可以最後乘進去，所以可以先不管它。首先應該求的部分是

但是，這種辦法并非能輕易想到。所以，在目前的階段，大家可不必過分在意，先繼續往下讀。

也就是說，這個積分式子的答案和圖48的半圓面積相等。即為

然後再乘以剛才跳過的16π，可得圓環體的體積為

圓環體看上去像是兩個圓相乘形成的圖形，在其體積計算中出現π的2次方确實非常有趣。在數學中，圓環體被定義為“圓和圓的笛卡兒積（準确來說，是圓環和圓周的笛卡兒積）”。說圓環體是兩個圓相乘的圖形，可謂恰如其文字之意——不，是恰如數字之意。

像小學生那樣求圓環體體積

前文說到的求解方法可以說是大人的解題方法。但是，這種方法很難向連勾股定理和積分符号都不知道的小學生解釋。

不用前文的方法，該怎樣分割呢？适合向小學生講解的方法是“分割成細方格來求圓的面積”。但是，逐一數方格數量會相當花費時間，所以我們來試一試新的方法。

為了轉換思路，這裡我先介紹一下“把圓分成扇形求圓面積的方法”。我們的目标是求圓環體的體積，但這一目标可以通過使用與“把圓分成扇形求圓面積的方法”類似的思路來實現。圓環體是立體圖形，所以很難整體去想象，不過若是圓的話便容易形象化了。

如圖49所示，将圓分成細小的扇形，然後讓扇形上下交叉相互交錯排列。由此，我們便得到了一個“平行四邊形”。

當然，扇形的弧是彎曲的，所以形成的平行四邊形也有些彎曲。但是，如果逐漸分割出更加細小的扇形，就幾乎看不見彎曲的弧了，到了最後我們差不多就可以将弧看作直線段。通過無限分割出更小的扇形，平行四邊形的精确度會大幅提升。這時，平行四邊形的高就會恰好等于圓的半徑，底邊則等于圓周長的一半（π×半徑）。也就是說，平行四邊形的面積接近等于“π×半徑×半徑”。因此，圓的面積也就等于“半徑×半徑×π”。

以上内容即為推導圓面積公式的“小學生式”方法。

把甜甜圈變成蛇的方法

結合前文推導圓面積的“小學生式”方法，下面我們開始研究圓環體的體積。依然是用相同的思路，想辦法分割圓環體。這次我們不水平分割了，來試試從垂直方向分割（圖50）。

垂直分割圓環體後，所得的截面正好是小小的圓。

為了進一步研究截面的圓，我們先将其8等分。然後使用圓分割後的扇形交錯排列的技巧，相互交錯排列圓環體。

這樣一來，圓環體就會被重構成彎彎曲曲的蛇形。

在這裡使用的模型是美仕唐納滋的白巧克力米粉甜甜圈。不用甜甜圈的話，用百吉圈也可以。先将甜甜圈8等分，如圖53。

把切好的甜甜圈交錯排列，就會形成以下圖形（圖54）。

可以看到，重新排列後的甜甜圈确實變成了蛇形的立體圖形。

在這裡我們是将甜甜圈8等分，如果進行更加精細的分割，如100等分、200等分……蛇形的立體圖形會更加接近圓柱形（橫倒的圓柱形）。

也就是說，如圖51所示，圓柱的底面是半徑為2的圓，而高則是半徑為4的圓的周長（圓圍繞豎軸旋轉一周的圓心軌迹長度），即8π。

因此，我們所求的圓環體體積，就轉化成了底面積為π×2²、高為8π的圓柱（圖55）的體積，即為

圓周率可以約等于3.14，代入3.14，可以求出圓環體的體積為315.507 2 cm³。

我們順便來求一下白巧克力米粉甜甜圈的體積，甜甜圈截面圓的半徑為1.5 cm，甜甜圈的直徑為8 cm。

也就是說，圖51中畫粗線的圓的半徑為8÷2-1.5=2.5 cm。因此，甜甜圈的體積等于底面積為π×1.5²、高為2π×2.5 cm的圓柱的體積，即為

這大概和棱長為4.8 cm的立方體體積相當。

帕普斯—古爾丁定理

在日本中學的入學考試中，存在一個求旋轉體體積的“秘技”——帕普斯—古爾丁定理。

下面我們使用這個定理計算旋轉體的體積。

在前面的圓環體中，“旋轉的平面圖形”是半徑為2的圓，其面積為2×2×π=4π。

接着是“旋轉面重心所經過的距離”，這道題裡的“重心”大家可以理解為是“旋轉體的正中央”。重心經過的距離等同于圓柱的高，所以是4×π×2=8π。

把這些數據代入帕普斯—古爾丁定理，可得“旋轉體的體積”為4π×8π=32π²。

不少機靈的小學生都知道這個“秘技”，在實際的考試中肯定也有考生使用這個定理。但是，真正要來解釋這個計算原理，如大家所見，還真不是一件容易的事情。

将圓環體變形成圓柱，我們可以從這個過程中窺得積分的要領。

實際上，使用相同的方法也可以計算圓環體的“表面積”。

在圖55中能夠确認，圓環體的表面積等于“底面半徑為2、高為8π的圓柱的側面積”。因此，半徑為2的圓的周長為2×2×π=4π，再乘以8π，則圓環體的表面積就等于32π²。順便說一下，這裡的表面積和體積相等（都是32π²），隻是一個偶然。

另外，使用将圓環體變形為圓柱的方法，也能輕松推導出圓環體的體積和表面積的公式。

如圖56所示，取r和R（R＞r）使之圍繞軸旋轉形成圓環體。将半徑為r的灰色圓闆稱為小圓，則圓環體的體積和表面積的公式如下：

體積=小圓的面積（πr²） × 小圓圓心經過的距離（2πR） =2π²r²R

表面積=小圓的周長（2πr）×小圓圓心經過的距離（2πR）=4π²rR

表面積的這種計算方法隻要理解了就會覺得非常簡單，但若使用其他計算方法就會比較麻煩，需要用到多重積分這種大學水平的積分知識。分割方法，讓積分可易可難。

反過來說，那些看起來複雜困難的問題，僅僅通過分割的方法，就能轉化為小學生也可以解開的問題了。

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積分在應用時，數值計算多會使用計算機來處理。實際上，把具體的積分式子寫出來并計算的情況少之又少。計算機計算積分問題，除了技術上的運行處理外，剩下其實都是在“求取所有分割面積（或者長度、體積）的總和”。

說到底，積分可以說就是求取“分割部分之和”，并無其他特别内容。一旦可以寫出積分的式子，那麼數值計算就很簡單了。

将各種各樣的量用積分的式子表達出來，這才是我們需要掌握的必要能力。

——本文選自《簡單微積分：學校未教過的超簡易入門技巧》

書中以微積分的“思考方法”為核心，以生活例子通俗講解了微積分的基本原理、公式推導以及實際應用意義，解答了微積分初學者遭遇的常見困惑。沒有煩瑣計算、幹澀理論，是一本隻需“輕松閱讀”便可以理解微積分原理的入門書。

第1章 積分是什麼

積分的存在意義

兩個思想實驗

切口的秘密

感覺和邏輯

第2章 微分是什麼

微分存在的意義

豐富多彩的函數世界

有預謀地使用微分

第3章 探尋微積分的可能性

1800年後的真相

填坑

彎曲也沒問題

微積分的真身

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