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實心方陣

　　問題由來：

　　有一個團體操表演隊，想排成6層的中空方陣的表演隊形。已知參加表演的有360人，最外層每邊應安排多少人？

　　這是長沙市2019年小學數學畢業考試的一道8分的應用題，算是一道拉分的大題了。

　　在人教版的教學中，雖然方陣屬于四年級的知識點，但對于中空方陣的應用題，小學生接觸的還是不多。

　　什麼是方陣？

　　将若幹個人或者物排成正方形即方陣。

　　掌握方陣的特點：

　　1、方陣的每邊人或者物的數量相等；

　　2、相鄰的兩層，每邊所含人或者物的數量相差為2；

　　3、相鄰兩層的人或者物的數量之差為8。

　　看下面的一個11×11的方陣就很清楚。

　　方陣有兩個簡單的公式，學習一下：

　　① 方陣的總數=每條邊上的數量×每條邊上的數量=（每條邊上的數量）2

　　② 方陣每一層的數量=（該層每條邊的數量 - 1）×4

　　③ 方陣每條邊的數量=方陣每一層的數量÷4 1

　　對于①，比較好理解，對于②，解釋一下，看圖就一目了然：

　　為了簡單計算，我們将每層上做了上面的劃分，就有了②的公式。

　　做一道試題來測試一下。

　　例題1：運動會入場時要求運動員排成9行9列的正方形方陣。如果去掉2行2列，每個方陣減少運動員多少人？（“走進美妙的數學花園”解題技能展示大賽）

　　這樣的試題，圖示化後對解題思路的清晰有很好的幫助。

　　如上圖，去掉2行2列，那麼剩下7行7列，根據我們上面的公式，減少的人數：

　　9×9 - 7×7 =81 - 49 =32（人）

　　例題2：體操表演若排成每一橫行和每一豎行中的人數相同的方陣，每個方陣最外一圈有16人。若四個這樣的方陣恰好可以合并成一個大方陣，則大方陣的最外一圈有______人（“希望杯”競賽試題）

　　這個題目，關鍵是要知道每個方陣最外一圈16人對應的是什麼樣的方陣，根據我們前面學習的公式，即方陣每條邊的數量=方陣每一層的數量÷4 1，所以它每條邊對應的人數是16÷4 1=5，也就是5÷5的方陣。

　　四個這樣的方陣，是10×10的方陣，最外邊是10人，那麼最外一圈的人數也有對應的計算公式，即（該層每條邊的數量 - 1）×4，所以最外一圈的人數=（10 - 1）×4=36（人）。

　　練習一下。

　　例題3：一個正方形苗圃種滿了樹苗，後來又補種了19課，使得橫、豎各增加了一排，正方形苗圃原來有多少棵樹苗？（南京市競賽試題）

　　答案：81（棵）。

　　中空方陣

　　所謂中空方陣，是指方陣中間為空心正方形的方陣。

　　解題時要用到的計算公式：

　　① 方陣每條邊的數量=方陣每一層的數量÷4 1

　　② 方陣的總數=大實心方陣的總數 - 小實心方陣的總數

　　③ 方陣的總數=（最外邊的每條邊的數量 - 層數）×層數×4

　　對于②的公式，看上圖可以清楚公式的由來。

　　我們來看本文開頭的那道題。

　　例題4：有一個團體操表演隊，想排成6層的中空方陣的表演隊形。已知參加表演的有360人，最外層每邊應安排多少人？（長沙市2019年小學數學畢業考試試題）

　　解：根據公式，方陣的總數=（最外邊的每條邊的人數 - 層數）×層數×4

　　360=（最外邊的每條邊的人數 - 6）×6×4

　　最外邊的每條邊的數量=21(人)

　　注意：如果用公式①，小學生沒有學平方的運算，雖然也可以解出來，但是不适合。

　　　　假設最外邊的每條邊的人數為x，那麼

　　　　　　x2 - [x - 6 × 2]2 =360

　　　　　　x=21（人）

　　例題5：小美将一些紙鶴擺成一個空心方陣，已知最外層她擺了44隻紙鶴，最内層擺了20隻紙鶴。那麼，小美擺完這個方陣一共用了多少個紙鶴？（世奧賽地方晉級賽試題）

　　我們知道了最外層和最内層的每層紙鶴數量，我們知道相鄰兩層的數量之差是8，根據這一點我們就可以得到層數，再根據最外層的紙鶴數量和層數就可以得到總共用的紙鶴數。

　　解：方陣的層數=（最外層的數量 - 最内層的數量）÷8 1=（44 - 20）÷8 1=4

　　最外邊的每邊數量=最外邊的總數量÷4 1=44÷4 1=12

　　方陣用的紙鶴數=（最外邊的每條邊的數量 - 層數）×層數×4=（12 - 4）×4×4=128(個)

　　答：小美擺完這個方陣一共用了128個紙鶴。

　　我們要因題制宜地去想解題的好辦法，不必拘泥于固定的解題套路。

　　也可以根據

　　方陣的總數=大實心方陣的總數 - 小實心方陣的總數

　　這個來解。

　　方陣最外邊每邊數量=最外邊的總數量÷4 1=44÷4 1=12

　　方陣最裡邊每邊數量=最裡邊的總數量÷4 1=20÷4 1=6

　　方陣的總數=大實心方陣的總數 - 小實心方陣的總數=122 - (6 - 2)2=144 - 16=128(個)

　　上面的兩種解法還是顯得有點繁瑣，可以像下面這樣來解（因為層數少）：

　　已知最外層擺了44個，方陣的相鄰兩層的數量之差是8，那麼

　　第二層：44-8=36

　　第三層：36-8=28

　　第四層：28-8=20

　　總共用了44 36 28 20=128（個）

　　方陣的變形

　　上面我們學習了實心方陣和中空方陣，學習了幾個公式和一些解題方法。

　　如果我們進一步思考，如果不是方陣怎麼解題，比如是個矩形的陣，又或者是矩形的中空陣？

　　再或者，如果是三角陣、六邊陣、五角星陣怎麼解呢？如果還是中空的呢？

　　題目有很多，變換也有很多。

　　對應的計算公式也會發生變化，你有興趣和信心去總結嗎？

　　歸根到底，隻要我們能通過圖示化來清楚陣的排布方式，再歸結到找出對應的數字規律，那麼問題也會迎刃而解。

　　例題6：三國時的政治家、軍事家諸葛亮有一次用360名士兵駐守城上，使敵人無論從哪一面牆看都有100名士兵把守，如下圖。後來，為了打破敵人的圍攻計劃，諸葛亮抽掉100人突襲敵人，敵人看到城牆上的守軍每邊卻增加了25人，諸葛亮是如何分布士兵的？畫出分布圖。

　　這個不是中空方陣，也不是方陣，但我們可以依照題目給出的條件逐步進行分析，知道找出問題的求解方法來。

　　原來有360人，抽掉100人，還剩下360-100=260人，諸葛亮的排兵不過就是城牆的邊角上和中間的人數變化而已，最終的目的是使得每邊增加了25人，也就是每邊上100 25=125人，就是使得橫排人數為125人，豎排人數也為125人，怎樣求呢？

　　看上圖，如果假設邊角人數為a，中間人數為b，那麼根據題目描述，則有

　　a b a = 125

　　4a 4b = 260

　　這樣是不是就可以通過解方程來求出問題的答案來了？

　　答案：城牆邊角60人，中間5人。

　　例題7：一個長方形廣場的正中央有一個長方形的水池。水池長8米，寬3米，水池周圍用邊長為1米的方磚一圈一圈地向外鋪，恰好鋪了若幹圈，共用了152塊方磚，那麼，共鋪了多少圈？（北京市“數學解題能力展示”讀者評選活動賽題）

　　像這種類型的應用題，一般小學生有一點不适應。

　　因為不具體，雖然題目中給出的是生活化的實景描述，但在小學生的腦海裡不容易形成與所學知識的對應關系。

　　我們可以一點點來抽絲剝繭地分析。

　　首先，方磚是長和寬都為1米，那麼從最裡面開始，如圖，8米就可以鋪上8塊，3米可以鋪上3塊，再加上四個邊角上的4塊，也就是最内層共有8 8 3 3 4=26塊。

　　我們知道相鄰兩層的數量之差為8。

　　那麼倒數第2層為26 8=34。

　　那麼倒數第3層為34 8=42。

　　那麼倒數第4層為42 8=50。

　　因為26 34 42 50=152，所以鋪了4圈。

　　這道題也可以應用面積的方法來求，一般小學生可能不容易理解。

　　從外面看，總共大的面積就是152 3×8 = 176平方米。

　　假設鋪了K層，那麼就有（ 3 2K ）×（ 8 2K ）=176。

　　化簡并分解因式，（ K - 4 ）（ 2K 19 ）=0

　　K不能為負值，所以K=4（層）。

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