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高中數學确定函數的單調性區間

教育更新时间:2025-11-13 21:49:41

高中數學确定函數的單調性區間（函數單調性的充要條件及應用）1

1. 有關結論

函數的單調性的充分條件：

一般地，設函數在某個區間有導數，如果在這個區間内

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，那麼f(x)為這個區間内的增函數；如果在這個區間内y'<0，那麼f(x)為這個區間内的減函數。

利用這一結論求複雜函數的單調區間十分方便，但要解決單調性的逆向問題，利用單調性的充要條件更加方便。

函數單調性的充要條件：

（1）對于可導函數，如果方程

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在某個區間上至多有孤立解，那麼在這個區間上，f(x)為增函數的充要條件是

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；f(x)為減函數的充要條件是。

（2）連續函數在閉區間[a，b]與開區間（a，b）上具有相同的單調性。

2. 應用

例1. 若函數

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在區間（1，4）内為減函數，且在區間（6，

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）内為增函數，求實數a的取值範圍。解：

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，其圖象開口向上，對稱軸為直線

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由在區間（1，4）内為減函數知對

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恒成立

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即

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解得

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由在區間（6，）内為增函數知對

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恒成立

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或

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解得

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綜上，得

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例2. 已知函數

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在區間

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上單調遞增，在區間[-2，2]上單調遞減，且

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（1）求的表達式；

（2）設，若對任意的

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，不等式

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恒成立，求實數m的取值範圍。解：（1）

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，其圖象開口向上

因為f(x)在區間上單調遞增，在區間[-2，2]上單調遞減

所以當

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時，取得極值故

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，得

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所以

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因為f(x)在區間[-2，2]上單調遞減

所以對

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恒成立

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即

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解得

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又，所以b＝0

于是

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所以

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（2）對任意的，不等式恒成立，等價于在區間

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上，

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。由

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，得

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所以f(x)的減區間為[-2，2]

由，得

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所以f(x)在區間上單調遞減

當

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時

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故

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即

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解得

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或

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又

所以

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