有些同學在遇到求最大值或最小值問題的時候，總是無從下手，下面整理了求解這類題的方法。我們一起來看看吧！與特殊四邊形有關的最小值（或最大值）問題，是特殊四邊形計算問題的重要題型，它已成為中考中一道靓麗的風景線. 常用解題思路：作出其中一點關于定直線的對稱點, 過對稱點作垂線或連接另一點, 根據垂線段最短或兩點之間線段最短求解.求特殊四邊形中的最值問題，一般都要用它們的軸對稱的性質把幾條線段轉移到一條直線上，利用兩點之間線段最短解決問題．

類型1 求線段的最值

1.如圖，四邊形ABCD中，∠A=90°，AB=3√3，AD=3，點M，N分别為線段BC，AB上的動點（含端點，但點M不與點B重合），點E，F分别為DM，MN的中點，則EF長度的最大值為（ ）

A．3 B．4 C．4.5 D．5

【解答】如圖，連結DN，∵DE=EM，FN=FM，∴EF=1/2DN，

當點N與點B重合時，DN的值最大即EF最大，

在RTΔABD中，∵∠A=90°，AD=3，AB=3√3，

∴利用勾股定理可求得BD==6，

∴EF的最大值=1/2BD=3．故選A．

【方法點撥】本題考查三角形中位線定理、勾股定理等知識，解題的關鍵是中位線定理的靈活應用，學會轉化的思想，屬于中考常考題型．

2．如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC＞AB，點D在BC上，以AC為對角線的平行四邊形ADCE中，DE的最小值是________ ．

【解答】∵四邊形ADCE是平行四邊形，∴BC∥AE，∴當DE⊥BC時，DE最短，

此時∵∠B=90°，∴AB⊥BC，∴DE∥AB，∴四邊形ABDE是平行四邊形，

∵∠B=90°，∴四邊形ABDE是矩形，∴DE=AB=4，∴DE的最小值為4．

故答案為4．

【方法點撥】解題的關鍵是找到DE的位置，學會利用垂線段最短解決問題，屬于中考常考題型．

3．如圖，正方形ABCD邊長為2，E為AB邊的中點，點F是BC邊上一個動點，把△BEF沿EF向形内部折疊，點B的對應點為B′，當B′D的長最小時，BF長為（ ）

A．√5/2 B．√5﹣1 C．（√5﹣1）/2 D．（√5 1）/2

【分析】如圖，當E．B′、D共線時，DB′最小，此時DB′=ED﹣EB′=ED﹣EB，先求出DB′，設BF=x，再根據DF2=DB′2 B′F2=CD2 CF2，列出方程即可解決．

【解答】如圖，當E．B′、D共線時，DB′最小，此時DB′=ED﹣EB′=ED﹣EB．

在RT△AED中，∵AD=2，AE=1，∴利用勾股定理可求得DE=√5，∴DB′=DE=EB=√5﹣1．

設BF=x，∵DF²=DB′² B′F²=CD² CF²，∴x² （√5﹣1）²=2² （2﹣x）²，∴x=（√5 1）/2故選D．

【方法點撥】最短問題，解題的關鍵是正确尋找點B′的位置，學會利用勾股定理構建方程解決問題．在解決與特殊四邊形有關的計算問題時，經常要用到方程思想.

類型2 求線段和的最值

4.如圖，矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，點E，F，G，H分别在矩形ABCD各邊上，且AE＝CG，BF＝DH，則四邊形EFGH周長的最小值為( )

A．5√5 B．10√5 C．10√3 D．15√3

答案：B

解析：①根據平行四邊形對邊相等，可知，當GH＋GF最小時，四邊形EFGH周長的最小；②作點F關于CD的對稱點F′，求GH＋GF′的最小值；③當H、G、F′三點共線時，GH＋GF′最小．解：作點F關于CD的對稱點F′，

易證四邊形EFGH為平行四邊形，△AEH≌△CGF，∴AH＝CF＝CF′．

當H、G、F′三點共線時，GH＋GF′最小，即GH＋GF最小．

過點F′作點F′M⊥AD，交AD延長線于點M．則HM＝5，F′M＝10，根據勾股定理可求得HF′＝5√5，所以GH＋GF為5√5，即四邊形EFGH周長的最小值為10√5．

5．如圖，正方形ABCD的邊長為1，點P為BC上任意一點（可以與B點或C重合），分别過B，C，D作射線AP的垂線，垂足分别是B'，C'，D'，則BB' CC' DD'的最大值與最小值的和為__________ ．

【分析】連接AC，DP，根據正方形的性質可得出AB=CD，S正方形ABCD=1，由三角形的面積公式即可得出1/2AP•（BB′ CC′ DD′）=1，結合AP的取值範圍即可得出BB′ CC′ DD′的範圍，将其最大值與最小值相加即可得出結論．

【解答】連接AC，DP，如圖所示．

∵四邊形ABCD是正方形，正方形ABCD的邊長為1，∴AB=CD，S正方形ABCD=1，

∵S△ADP=1/2S正方形ABCD=1/2，S△ABP S△ACP=S△ABC=1/2S正方形ABCD=1/2，∴S△ADP S△ABP S△ACP=1，

∴1/2AP•BB′ 1/2AP•CC′ 1/2AP•DD′=1/2AP•（BB′ CC′ DD′）=1，則BB′ CC′ DD′=2/AP，

∵1≤AP≤√2，∴當P與B重合時，有最大值2；當P與C重合時，有最小值 √2．

∴√2≤BB′ CC′ DD′≤2，∴BB' CC' DD'的最大值與最小值的和為2 √2．

故答案為：2 √2．

6. 如圖所示，正方形ABCD的邊長為6，△ABE是等邊三角形，點E在正方形ABCD内，在對角線AC上有一點P，使PD PE的和最小，則這個最小值為 ___________．

答案：6

解析：由于點B與D關于AC對稱，所以連接BD，與AC的交點即為P點．此時PD PE=BE最小,設BE與AC交于點P，連接BD，∵點B與D關于AC對稱，∴PD=PB，∴PD PE=PB PE=BE最小．即P在AC與BE的交點上時，PD PE最小，為BE的長度；∵正方形ABCD的邊長為6，∴AB=6．又∵△ABE是等邊三角形，∴BE=AB=6．

故所求最小值為6．

7.如圖，己知菱形ABCD的周長為16，面積為8√3，E為AB的中點，若P為對角線BD上一動點，則EP＋AP的最小值為_____________．

【答案】2√3

【解析】點A與點C關于直線BD對稱，連接CE，交BD于點P，點P為所求作的點。

∵菱形ABCD的周長為16，∴AB=BC=4，∵E為AB的中點，∴BE=2，∵菱形ABCD的面積為8√3，∴高=8√3÷4=2√3，過點C作AB邊上的高CM，則CM=2√3，在Rt△CBM中，根據勾股定理可得BM=2，又∵BE=2，∴點B與點M重合，∴CE= CM=2√3

類型3 求面積的最值

8. 如圖，△APB中，AB=2，∠APB=90°，在AB的同側作正△ABD、正△APE和正△BPC，則四邊形PCDE面積的最大值是__________ ．

【解答】延長EP交BC于點F，

∵∠APB=90°，∠APE=∠BPC=60°，∴∠EPC=150°，

∴∠CPF=180°﹣150°=30°，∴PF平分∠BPC，

又∵PB=PC，∴PF⊥BC，

設Rt△ABP中，AP=a，BP=b，則CF=1/2CP=1/2b，a² b²=2²=4，

∵△APE和△ABD都是等邊三角形，

∴AE=AP，AD=AB，∠EAP=∠DAB=60°，∴∠EAD=∠PAB，∴△EAD≌△PAB（SAS），∴ED=PB=CP，

同理可得：△APB≌△DCB（SAS），∴EP=AP=CD，

∴四邊形CDEP是平行四邊形，

∴四邊形CDEP的面積=EP×CF=a×1/2b=1/2ab，

又∵（a﹣b）²=a²﹣2ab b²≥0，

∴2ab≤a² b²=4，∴1/2ab≤1，

即四邊形PCDE面積的最大值為1．故答案為：1

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