例一：如圖，D,E,F分别是△ABC的三邊上的點，CE=BF，△DCE和△DBF的面積相等。

求證：AD平分∠BAC

1、欲證AD平分∠BAC，我們有兩種思路。第一種：證明∠BAD=∠CAD。第二種：證明點D到AB和AC的距離相等。

2、根據CE=BF，△DCE和△DBF的面積相等這兩個條件，我們選擇第二個思路。可以過點D作DH⊥AB，DG⊥AC，垂足分别為H,G。此時分别以CE和BF為底，△DCE的面積=½CE·D G，△DBF的面積=½BF·DH；所以DG=DH。

3、因為DH⊥AB，DG⊥AC；所以點D在∠BAC的平分線上，即AD平分∠BAC。

證明：

點D作DH⊥AB，DG⊥AC，垂足分别為H,G

∵△DCE的面積=△DBF的面積

△DCE的面積=½CE·D G

△DBF的面積=½BF·DH

∴½CE·D G=½BF·DH

∵CE=BF

∴DG=DH（等量代換）

∵DH⊥AB，DG⊥AC，DG=DH（角的内部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上）

∴點D在∠BAC的平分線上

即AD平分∠BAC

例二：如圖，AB=DC，∠A=∠D。

求證：∠ABC=∠DCB

1、本題條件非常簡單，因為需要添加輔助線，所以本題難度稍高。由AB=DC，∠A=∠D，想到如果取AD的中點N，連接NB、NC，再由“SAS”可以證明△ABN≌△DCN，從而得到結論BN=CN，∠ABN=∠DCN。

2、如果能夠證明∠NBC=∠NCB的話，我們就能夠證明∠ABC=∠DCB。

3、我們再取BC的中點M，連接MN，則可用“SSS”證明△NBM≌△NCM，從而得到結論∠NBC=∠NCB。

證明：

分别取AD、BC的中點N、M，連接NB、MN、NC，則AN=DN，BM=CM。

∵N、M分别是AD、BC的中點

∴AN=DN

BM=CM

在△ABN和△DCN中

AN=DN （已證）

∠A=∠D （已知）

AB=DC （已知）

∴△ABN≌△DCN（SAS）

∴BN=CN （全等三角形的對應邊相等）

∠ABN=∠DCN (全等三角形的對應角相等）

在△NBM和△NCM中

BN=CN （已證）

BM=CM （已證）

NM=NM （公共邊）

∴△NBM≌△NCM（SSS）

∴∠NBC=∠NCB (全等三角形的對應角相等）

∵∠ABC=∠ABN ∠NBC

∠DCB=∠DCN ∠NCB

∴∠ABN ∠NBC=∠DCN ∠NCB（等量代換）

即∠ABC=∠DCB

小結：

證明兩角相等的常見方法有：

1、同角（等角）的餘角（補角）相等

2、平行線的性質

3、對頂角相等

4、全等三角形的對應角相等

5、角平分線的定義

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