由于磁場有邊界限制，帶電粒子在勻強磁場中隻做部分的圓周運動，解決該類問題，常用方法有三種，稱之為“三闆斧”.常用在同源粒子發射問題上，這三種方法統稱為動态圓分析法.

一、放縮圓法

放縮圓法适用于：入射速度方向不變，大小變.（同向異速發射）

根據r=mv/qB，v大小變化，圓的大小也跟着變化，如同吹泡泡糖.

【例題】：一足夠長的矩形區域abcd内充滿磁感應強度為B、方向垂直紙面向裡的勻強磁場，矩形區域的左邊界ad寬為L。現從ad中點O垂直于磁場射入一帶電粒子，速度大小為v₀，方向與ad邊夾角為α＝30°，如圖所示。已知粒子的電荷量為q，質量為m（重力不計）。

（1）若粒子帶負電，且恰能從d點射出磁場，求v₀的大小；

（2）若粒子帶正電，且粒子能從ab邊射出磁場，求v₀的取值範圍。

【解析】

1.速度方向不變，大小變化.适合用放縮圓法.

2.臨界條件是軌迹與邊界相切.

【例題】如圖所示為一方向垂真紙面向裡的半圓形勻強磁場區域，O為其圓心，AB為其直徑.足夠長的收集闆MN平行于AB且與半圓形區域相切于P點.0點放置一粒子源，可在OA到OB之間180°範圍内向磁場内連續射入速率為v₀的帶負電粒子已知 AB＝2L，粒子的質量均為m.帶電荷量均為q.不計粒子的重力以及相互作用.

（1）若要使所有粒子均不能被收集闆收集，所加磁場需滿足的條件

（2）若所加磁場的磁感應強度為mv₀/qL，收集闆上被粒子擊中區域上靠近M端距P點的最遠距離

（3）若恰有5/6的粒子能被收集闆收集到，求所加磁場的磁感應強度.

【答案】

【例題】如圖所示，環狀勻強磁場圍成中空區域内有自由運動的帶電粒子，但由于環狀磁場的束縛，隻要速度不很大，都不會穿出磁場的外邊緣.設環狀磁場的内半徑R₁＝0.5m，外半徑R₂＝1.0M，磁場的磁感應強度B＝1.0T，若被縛的帶電粒子的荷質比為q/m＝4×10⁷C/kg，中空區域中帶電粒子具有各個方向的速度，試計算：

（1）粒子沿環狀的半徑方向射入磁場，不能穿越磁場的最大速度多大？

（2）所有粒子不能穿越磁場的最大速度多大？

【解析】如圖所示

【答案】

（1）1.5×10⁷m/s

（2）1.0×10⁷m/s

注意下列結論，再借助數學方法分析：

（1）剛好穿出磁場邊界的條件是帶電粒子在磁場中運動的軌迹與邊界相切

（2）當速度v一定時，弧長越長，軌迹對應的圓心角越大，則帶電粒子在有界磁場中運動的時間越長

（3）注意圓周運動中有關對稱規律：如從同一邊界射入的粒子，從同一邊界射出時，速度與邊界的夾角相等；在圓形磁場區域内，沿經向射入的粒子，必沿徑向射出。

【例題】在一個邊界為等邊三角形的區域内，存在一個方向垂直于紙面向裡的勻強磁場，在磁場邊界上的P點處有一個粒子源，發出比荷相同的三個粒子a、b、C（不計重力）沿同一方向進入磁場，三個粒子通過磁場的軌迹如圖所示，用ta、tb、tc分别表示a、b、c通過磁場的時間；用ra、rb、rc分别表示a、b、c在磁場中的運動半徑；則下列判斷正确的是（）

A.ta＝tb＞tc

B.tb＞tc＞ta

C.rc＞rb ＞ra

D.rb ＞ra＞rc

【例題】如圖所示，NP、MQ兩闆間存在垂直于紙面向裡的勻強磁場，一帶正電的粒子以速度v₀從O點垂直射入.已知帶電粒子的質量為m、電荷量為q，兩闆之間的距離為d，兩闆長也為d，O點是NP闆的中點.為了使粒子能從兩闆之間射出，求磁感應強度B應滿足的條件.

【解析】如圖所示，找到兩個臨界點.

二、旋轉圓法

旋轉圓法适用于：入射速度大小不變，方向變.（同速異向發射）

速度大小一樣，所以圓的的大小是一樣的，速度方向不一樣，相當圓跟着在旋轉.

包絡線是以軌迹圓直徑為半徑的圓，是粒子能到達的最遠距離.

旋轉圓法準備一個圓片工具，比如硬币、光盤.

【例題】如圖所示，真空室内存在勻強磁場，磁場方向垂直于紙面向裡，磁感應強度的大小B＝0.60T，磁場内有一塊平面感光闆ab，闆面與磁場方向平行，在距ab的距離l＝16cm處，有一個點狀的α放射源S，它向各個方向發射α粒子，α粒子的速度都是v＝3.0×10⁶m/s，已知α粒子的電荷與質量之比q/m＝5.0×10⁷C/kg，現隻考慮在圖紙平面中運動的α粒子，求ab上被α粒子打中的區域的長度.

【解析】先畫一軌迹圓，後順時針旋轉軌迹圓.

【提醒】要注意粒子的轉動方向，是順時針還是逆時針.一般粒子順時針轉，讓動态圓也順時針轉.

【注意】左右兩邊沒有對稱性.

【例題】如圖所示，S處有一電子源，可向紙面内任意方向發射電子，平闆MN垂直于紙面。在紙面内的長度L＝9.1cm，中點O與S間的距離d＝4.55cm，MN與SO直線的夾角為θ，闆所在平面有電子源的一側區域有方向垂直于紙面向外的勻強磁場，磁感應強度B＝2.0×10⁻⁴T。電子質量m＝9.1×10⁻³¹kg，電荷量e＝-1.6×10⁻¹⁹C，不計電子重力。電子源發射速度v＝1.6×10⁶m/s的一個電子，該電子打在闆上可能位置的區域的長度為I.則（AD）

A.θ＝90°時，l＝9.1cm

B.θ＝60°時，l＝9.1cm

C.θ＝45°時，l＝4.55cm

D.θ＝30°時，l＝4.55cm

【解析】

【例題】如圖所示，在0≤x≤a、0≤y≤a/2範圍内有垂直于xOy平面向外的勻強磁場，磁感應強度大小為B。坐标原點O處有一個粒子源，在某時刻發射大量質量為m、電荷量為q的帶正電粒子，它們的速度大小相同，速度方向均在xOy平面内，與y軸正方向的夾角分布在0°～90°範圍内。已知粒子在磁場中做圓周運動的半徑介于a/2到a之間，從發射粒子到粒子全部離開磁場經曆的時間恰好為粒子在磁場中做圓周運動周期的四分之一。求最後離開磁場的粒子從粒子源射出時，

（1）速度的大小；

（2）速度方向與y軸正方向夾角的正弦。

【例題】邊長為L的等邊三角形OAB區域内有垂直紙面向裡的勻強磁場。在紙面内從O點向磁場區域AOB各個方向瞬時射入質量為m、電荷量為q的帶正電的粒子，所有粒子的速率均為v。如圖所示，沿OB方向射入的粒子從AB邊的中點C射出，不計粒子之間的相互作用和重力的影響，已知sin35°≈0.577。求：

（1）勻強磁場的磁感應強度的大小；

（2）帶電粒子在磁場中運動的最長時間；

（3）沿OB方向射入的粒子從AB邊的中點C射出時，還在磁場中運動的粒子占所有粒子的比例。

【解析】

【例題】一水平放置的平闆MN上方有勻強磁場分布，磁感應強度的大小為B，磁場方向垂直于紙面向裡.許多質量為m、帶電量為＋q的粒子以相同的速率v沿位于紙面内的各個方向，由小孔O射入磁場區域.不計重力和粒子間的相互影響.下圖中的陰影部分表示帶電粒子可能經過的區域，其中R＝mv/（Bq）.下列哪個圖是正确的.（）

三、平移圓法

适用于：粒子速度大小，方向均不變，入射點發生變化，入射點發生變化，相當把軌迹圓平行移動.

【例題】一台質譜儀的工作原理如圖所示.大量的甲、乙兩種離子飄入電壓為U₀的加速電場，其初速度幾乎為O，經加速後，通過寬為L的狹縫M沿着與磁場垂直的方向進入磁感應強度為B的勻強磁場中，最後打到照相底片上.已知甲、乙兩種離子的電荷量均為＋q，質量分别為2m和m，圖中虛線為經過狹縫左、右邊界M、N的甲種離子的運動軌迹，不考慮離子間的相互作用.

（1）求甲種離子打在底片上的位置到N點的最小距離x，

（2）在圖中用斜線标出磁場中甲種離子經過的區域，并求該區域最窄處的寬度d.

【解析】

【例題】利用如圖所示裝置可以選擇一定速度範圍内的帶電粒子。圖中闆MN上方是磁感應強度大小為B、方向垂直紙面向裡的勻強磁場，闆上有兩條寬度分别為2d和d的縫，兩縫近端相距為L。一群質量為m、電荷量為q、速度不同的粒子，從寬度為2d的縫垂直于闆MN進入磁場，對于能夠從寬度為d的縫射出的粒子，下列說法正确的是(BC)

A.射出粒子帶正電

B.射出粒子的最大速度為qB(3d＋L)/2m

C.保持d和L不變，增大B，射出粒子的最大速度與最小速度之差增大

D.保持d和B不變，增大L，射出粒子的最大速度與最小速度之差增大

【總結】如果入射點、速度方向、速度大小都同時發生了變化，可以這三種方法并行使用.

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