C語言中要求平方根,可以在頭文件中加入#include <math.h>.然後調用sqrt(n);函數即可。但在單片機中調用此函數無疑會耗費大量資源和時間，是極不合适的。在此，總結下網上常見的四種單片機常用開方根算法：

對于擁有專門的乘除法指令的單片機，可采用以下兩種方法：

1、二分法

對于一個非負數n，它的平方根不會小于大于（n/2 1）（謝謝@linzhi-cs提醒）。在[0, n/2 1]這個範圍内可以進行二分搜索，求出n的平方根。

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1 int sqrt(int x) { 2 long long i = 0; 3 long long j = x / 2 1; 4 while (i <= j) 5 { 6 long long mid = (i j) / 2; 7 long long sq = mid * mid; 8 if (sq == x) return mid; 9 else if (sq < x) i = mid 1; 10 else j = mid - 1; 11 } 12 return j; 13 }

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2、更為常用的牛頓叠代法

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1 int sqrt(int x) { 2 if (x == 0) return 0; 3 double last = 0; 4 double res = 1; 5 while (res != last) 6 { 7 last = res; 8 res = (res x / res) / 2; 9 } 10 return int(res); 11 }

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牛頓叠代法也可以求解多次方程。

對于不帶乘除法指令的單片機，可采取以下兩種算法：

算法3:

本算法隻采用移位、加減法、判斷和循環實現，因為它不需要浮點運算，也不需要乘除運算，因此可以很方便地運用到各種芯片上去。

我們先來看看10進制下是如何手工計算開方的：

先看下面兩個算式：

x = 10*p q (1)

公式(1)左右平方之後得：

x^2 = 100*p^2 20pq q^2 (2)

現在假設我們知道x^2和p，希望求出q來，求出了q也就求出了x^2的開方x了。

我們把公式(2)改寫為如下格式：

q = (x^2 - 100*p^2)/(20*p q) (3)

這個算式左右都有q，因此無法直接計算出q來，因此手工的開方算法和手工除法算法一樣有一步需要猜值。

我們來一個手工計算的例子：計算1234567890的開方

首先我們把這個數兩位兩位一組分開，計算出最高位為3。也就是(3)中的p，最下面一行的334為餘數，也就是公式(3)中的(x^2 - 100*p^2)近似值

3 --------------- | 12 34 56 78 90 9 --------------- | 3 34

下面我們要找到一個0-9的數q使它最接近滿足公式(3)。我們先把p乘以20寫在334左邊：

3 q --------------- | 12 34 56 78 90 9 --------------- 6q| 3 34

我們看到q為5時(60 q*q)的值最接近334，而且不超過334。于是我們得到：

3 5 --------------- | 12 34 56 78 90 9 --------------- 65| 3 34 | 3 25 --------------- 9 56

接下來就是重複上面的步驟了，這裡就不再啰嗦了。

這個手工算法其實和10進制關系不大，因此我們可以很容易的把它改為二進制，改為二進制之後，公式(3)就變成了：

q = (x^2 - 4*p^2)/(4*p q) (4)

我們來看一個例子，計算100(二進制1100100)的開方：

1 0 1 0 --------------- | 1 10 01 00 1 --------------- 100| 0 10 | 0 00 --------------- | 10 011001| 10 01 --------------- 0 00

這裡每一步不再是把p乘以20了，而是把p乘以4，也就是把p右移兩位，而由于q的值隻能為0或者1，所以我們隻需要判斷餘數(x^2 - 4*p^2)和(4*p 1)的大小關系，如果餘數大于等于(4*p q)那麼該上一個1，否則該上一個0。

下面給出完成的C語言程序，其中root表示p，rem表示每步計算之後的餘數，divisor表示(4*p 1)，通過a>>30取a的最高 2位，通過a<<=2将計算後的最高2位剔除。其中root的兩次<<1相當于4*p。程序完全是按照手工計算改寫的，應該不難理解。

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unsigned short sqrt(unsigned long a){ unsigned long rem = 0; unsigned long root = 0; unsigned long divisor = 0; for(int i=0; i<16; i ){ root <<= 1; rem = ((rem << 2) (a >> 30)); a <<= 2; divisor = (root<<1) 1; if(divisor <= rem){ rem -= divisor; root ; } } return (unsigned short)(root); }

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算法4

這種方法比牛頓叠代法更加快速的方法。

1.原理

下述用pow(X,Y)表示X的Y次幂，用B[0]，B[1]，...，B[m-1]表示一個序列，

其中[x]為下标。

假設：

B[x],b[x]都是二進制序列,取值0或1。

1、 M = B[m-1]*pow(2,m-1) B[m-2]*pow(2,m-2) ... B[1]*pow(2,1) B[0]*pow

(2,0)

2、 N = b[n-1]*pow(2,n-1) b[n-2]*pow(2,n-2) ... b[1]*pow(2,1) n[0]*pow

(2,0)

3、 pow(N,2) = M

(1) N的最高位b[n-1]可以根據M的最高位B[m-1]直接求得。

設 m 已知,因為 pow(2, m-1) <= M <= pow(2, m)，所以 pow(2, (m-1)/2) <= N <=

pow(2, m/2)

如果 m 是奇數，設m=2*k 1,

那麼 pow(2,k) <= N < pow(2, 1/2 k) < pow(2, k 1),

n-1=k, n=k 1=(m 1)/2

如果 m 是偶數，設m=2k,

那麼 pow(2,k) > N >= pow(2, k-1/2) > pow(2, k-1),

n-1=k-1,n=k=m/2

所以b[n-1]完全由B[m-1]決定。

餘數 M[1] = M - b[n-1]*pow(2, 2*n-2)

(2) N的次高位b[n-2]可以采用試探法來确定。

因為b[n-1]=1，假設b[n-2]=1，則 pow(b[n-1]*pow(2,n-1) b[n-1]*pow(2,n-2),

2) = b[n-1]*pow(2,2*n-2) (b[n-1]*pow(2,2*n-2) b[n-2]*pow(2,2*n-4)),

然後比較餘數M[1]是否大于等于 (pow(2,2)*b[n-1] b[n-2]) * pow(2,2*n-4)。這種

比較隻須根據B[m-1]、B[m-2]、...、B[2*n-4]便可做出判斷，其餘低位不做比較。

若 M[1] >= (pow(2,2)*b[n-1] b[n-2]) * pow(2,2*n-4), 則假設有效，b[n-2] =

1；

餘數 M[2] = M[1] - pow(pow(2,n-1)*b[n-1] pow(2,n-2)*b[n-2], 2) = M[1] -

(pow(2,2) 1)*pow(2,2*n-4)；

若 M[1] < (pow(2,2)*b[n-1] b[n-2]) * pow(2,2*n-4), 則假設無效，b[n-2] =

0；餘數 M[2] = M[1]。

(3) 同理，可以從高位到低位逐位求出M的平方根N的各位。

使用這種算法計算32位數的平方根時最多隻須比較16次，而且每次比較時不必把M的各位逐

一比較，尤其是開始時比較的位數很少，所以消耗的時間遠低于牛頓叠代法。

2. 實現代碼

這裡給出實現32位無符号整數開方得到16位無符号整數的C語言代碼。

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/****************************************/ /*Function: 開根号處理 */ /*入口參數：被開方數，長整型 */ /*出口參數：開方結果，整型 */ /****************************************/ unsigned int sqrt_16(unsigned long M) { unsigned int N, i; unsigned long tmp, ttp; // 結果、循環計數 if (M == 0) // 被開方數，開方結果也為0 return 0; N = 0; tmp = (M >> 30); // 獲取最高位：B[m-1] M <<= 2; if (tmp > 1) // 最高位為1 { N ; // 結果當前位為1，否則為默認的0 tmp -= N; } for (i=15; i>0; i--) // 求剩餘的15位 { N <<= 1; // 左移一位 tmp <<= 2; tmp = (M >> 30); // 假設 ttp = N; ttp = (ttp<<1) 1; M <<= 2; if (tmp >= ttp) // 假設成立 { tmp -= ttp; N ; } } return N; }

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以上算法結尾網上收集所得，雖然原理可能比較難懂，但都可在單片機中實際運用。

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