一、恒成立有解問題
例題1、設函數 f(x)= lnx , g(x)= ax (a - 1)/ x - 3 (a ∈ R)。
(1)當 a = 2 時 , 解關于 x 的方程 g(e^x)= 0 (其中 e 為自然對數的底數);
(2)求函數 ψ(x)= f(x) g(x)的單調區間 ;
(3)當 a = 1 時 , 記 h(x)= f(x)· g(x),是否存在整數 λ ,使得關于 x 的不等式 2λ ≥ h(x)有解?
若存在 ,請求出 λ 的最小值 ;若不存在,請說明理由 。(參考數據:ln2 ≈ 0.6931,ln3 ≈ 1.0986)
解:
例題1圖(1)
故所求的方程的根為 x = 0 , 或 x = -ln2 。
例題1圖(2)
① 當 a = 0 時 ,由 ψ'(x)> 0 , 解得 x > 0 ;
② 當 a > 1 時 ,由 ψ'(x)> 0 , 解得 x > (a-1)/a ;
③ 當 0 < a < 1 時,由 ψ'(x)> 0 , 解得 x > 0 ;
④ 當 a = 1 時,由 ψ'(x)> 0 , 解得 x > 0 ;
⑤ 當 a < 0 時 ,由 ψ'(x)> 0 , 解得 0 < x < (a-1)/ a 。
綜上所述:
當 a < 0 時 ,ψ(x)的增區間為 (0,(a-1)/ a);
當 0 ≤ a ≤ 1 時,ψ(x)的增區間為 (0, ∞);
當 a > 1 時 ,ψ(x)的增區間為 ((a-1)/ a, ∞)。
(3)當 a = 1 時 ,g(x)= x - 3 , h(x)= (x - 3)lnx ,
所以 h'(x)= lnx 1 - 3/x 單調遞增 , h'(3/2)= ln(3/2) 1 - 2 < 0 , h'(2)= ln2 1 - 3/2 > 0 ,
所以存在唯一 x0 ∈ (3/2 , 2)使得 h'(x0)= 0 ,即 lnx0 1 - 3/(x0) = 0 ,
當 x ∈ (0 , x0)時,h'(x)< 0 , 當 x ∈ (x0 , ∞)時,h'(x)> 0 ,
所以
例題1圖(3)
記函數 r(x)= 6 - ( x 9/x ) , 則 r(x)在 (3/2 , 2)上單調遞增 ,
所以 r(3/2)< h(x0)< r(2), 即 h(x0)∈(-3/2 , -1/2),
由 2λ ≥ -3/2 ,且 λ 為整數 , 得 λ ≥ 0 ,
所以存在整數 λ 滿足題意 , 且 λ 的最小值為 0 。
注:本題旨在考查解一元二次方程,利用導數研究函數的性質(單調性和最值),不等式恒成立問題,構造函數,運用函數的思想求解,考查運算和推理能力,難度較大 。
二、零點問題
例題2、已知函數 f(x)= ax^2 - x - lnx , a∈ R 。
(1)當 a = 3/8 時 , 求函數 f(x)的最小值 ;
(2)若 -1 ≤ a ≤ 0 , 證明 :函數 f(x)有且隻有一個零點 ;
解:
(1)當 a = 3/8 時 ,f(x)= ( 3/8) x^2 - x - lnx , 所以
例題2圖(1)
令 f '(x)= 0 , 得 x = 2 ,
當 x∈(0 , 2)時 , f '(x)< 0 ;當 x∈(2 , ∞)時 , f '(x)> 0 ,
所以函數 f(x)在 (0 , 2)上單調遞減,在 (2 , ∞) 上單調遞增 。
所以當 x = 2 時 ,f(x)有最小值 f(2)= -1/2 - ln2 。
(2)
例題2圖(2)
函數 f(x)在 (0 , ∞)上單調遞減 ,
所以當 a ≤ 0 時 ,函數 f(x)在 (0, ∞)上最多有一個零點 。
例題2圖(3)
所以當 -1 ≤ a ≤ 0 時 , 函數 f(x)在 (0, ∞)上有零點 。
綜上 , 當 -1 ≤ a ≤ 0 時 ,函數 f(x)有且隻有一個零點 。
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