知識點總結

一. 導數概念的引入

1. 導數的物理意義：

瞬時速率。一般的，函數y=f(x)在x=

2. 導數的幾何意義：

曲線的切線，當點

當點

3. 導函數：

當x變化時，

。

二. 導數的計算

基本初等函數的導數公式：

導數的運算法則：

複合函數求導 ：

y=f(u)和u=g(x)，則稱y可以表示成為x的函數，即y=f(g(x))為一個複合函數。

三、導數在研究函數中的應用

1. 函數的單調性與導數：

一般的，函數的單調性與其導數的正負有如下關系：在某個區間（a,b）内

(1) 如果＞0，那麼函數y=f(x)在這個區間單調遞增；

(2) 如果＜0，那麼函數y=f(x)在這個區間單調遞減；

2. 函數的極值與導數：

極值反映的是函數在某一點附近的大小情況。

求函數y=f(x)的極值的方法有：

（1）如果在

（2）如果在附近的左側＜0 ，右側＞0，那麼是極小值；

3. 函數的最大(小)值與導數：

求函數y=f(x)在［a,b］上的最大值與最小值的步驟：

（1）求函數y=f(x)在［a,b］内的極值；

（2） 将函數y=f(x)的各極值與端點處的函數值f(a)，f(b)比較，其中最大的是最大值，最小的是最小值。

四. 推理與證明

（1）合情推理與類比推理

根據一類事物的部分對象具有某種性質，推出這類事物的所有對象都具有這種性質的推理，叫做歸納推理,歸納是從特殊到一般的過程，它屬于合情推理。

根據兩類不同事物之間具有某些類似（或一緻）性，推測其中一類事物具有與另外一類事物類似的性質的推理，叫做類比推理。

類比推理的一般步驟：

(1) 找出兩類事物的相似性或一緻性；

(2) 用一類事物的性質去推測另一類事物的性質,得出一個明确的命題（猜想）；

(3) 一般的，事物之間的各個性質并不是孤立存在的,而是相互制約的.如果兩個事物在某些性質上相同或相似，那麼他們在另一寫性質上也可能相同或類似,類比的結論可能是真的；

(4) 一般情況下，如果類比的相似性越多，相似的性質與推測的性質之間越相關，那麼類比得出的命題越可靠。

（2）演繹推理（俗稱三段論）

由一般性的命題推出特殊命題的過程,這種推理稱為演繹推理。

（3）數學歸納法

1. 它是一個遞推的數學論證方法。

2. 步驟：

A. 命題在 n=1（或

B.假設在 n=k 時命題成立；

C. 證明 n=k 1 時命題也成立。

完成這兩步，就可以斷定對任何自然數（或n≥，且n∈N）結論都成立。

證明方法：1、 反證法；2、分析法；3、綜合法；

解題技巧

熱點考向一 導數在方程中的應用

[典例1]

已知函數f(x)＝x2－(a＋4)x－2a2＋5a＋3(a∈R)．

(1)當a＝3時，求函數f(x)的零點；

(2)若方程f(x)＝0的兩個實數根都在區間(－1，3)上，求實數a的取值範圍．

[方法規律]

利用導數解決函數零點(方程的根)問題的主要方法

(1)利用導數研究函數的單調性和極值，通過對極值正負的讨論研究根的問題；

(2)利用數形結合研究方程的根；

(3)利用導數結合零點定理研究根的存在問題；

(4)轉化為不等式或最值問題解決函數零點問題.

熱點考向二導數在不等式中的應用

[方法規律]

利用導數解決不等式問題的類型

(1)不等式恒成立：基本思路就是轉化為求函數的最值或函數值域的端點值問題．

(2)比較兩個數的大小：一般的思路是把兩個函數作差後構造一個新函數，通過研究這個函數的函數值與零的大小确定所比較的兩個數的大小．

(3)證明不等式：對于隻含有一個變量的不等式都可以通過構造函數，然後利用函數的單調性和極值解決．

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