用參數表示變量或運動，是數學中非常常見的問題，也是重要的解題思想和解題策略，更是中學數學中的重點和難點問題，屬于初高中銜接的必考内容。也屬于奧賽班考試的必考内容，同時也是中高考的熱點問題之一．我們很經常會遇到有關二次函數中含參數問題，主要涉及恒成立、最值與參數取值範圍．下面我們來探讨有關二次函數中含有參數的問題！

對稱軸與定義域區間的相互位置關系的讨論往往成為解決這類問題的關鍵。此類問題包括以下四種情形：（1）軸定，區間定；（2）軸定，區間變；（3）軸變，區間定；（4）軸變，區間變。對于含參型二次函數問題，首先應明确的方式主要兩種類型：

類型1、正向型

是指已知二次函數和定義域區間，求其最值。

1．（2018秋•蕭山區期末）已知二次函數y＝ax ²﹣4ax 3a

（1）若a＝1，則函數y的最小值為 ．

（2）若當1≤x≤4時，y的最大值是4，則a的值為 _____．

【分析】（1）将a＝1代入二次函數y＝ax ²﹣4ax 3a，然後配方即可．

（2）先求出抛物線的對稱軸是直線x＝2，然後分a＞0和a＜0兩種情況讨論，根據函數增減性即可求出a的值．

【解答】（1）當a＝1時，y＝x ²﹣4x 3＝（x﹣2）²﹣1

∵a＝1＞0，∴抛物線的開口向上，當x＝2時，函數y的最小值為﹣1．

（2）∵二次函數y＝ax ²﹣4ax 3a＝a（x﹣2）2﹣a

∴抛物線的對稱軸是直線x＝2，

∵1≤x≤4，∴當a＞0時，抛物線開口向上，在對稱軸直線x＝2右側y随x的增大而增大，

當x＝4時y有最大值，a×（4﹣2）²﹣a＝4，解得a＝4/3，

當a＜0時，抛物線開口向下，x＝2時y有最大值，

a×（2﹣2）²﹣a＝4，解得a＝﹣4．

故答案為（1）﹣1；（2）4/3或-4．

2．（2019•硚口區模拟）點A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）在抛物線y＝x² 2mx 2上．當2＜x₁＜x₂時，滿足y₁＜y₂，則m的取值範圍為 _______．

【分析】根據二次函數圖象的對稱軸和二次函數圖象的增減性解答．

【解答】如圖，當2＜x₁＜x₂時，滿足y₁＜y₂，此時點A、B均在直線x＝2的右側．

而y＝x² 2mx 2＝（x m）² 2﹣m²，對稱軸是直線x＝﹣m，

所以﹣m≤2，所以m≥﹣2．故答案是：m≥﹣2．

【點評】考查了二次函數圖象上點的坐标特征，二次函數圖象與系數的關系，解題時，需要掌握二次函數圖象的增減性和二次函數圖象的對稱性質．

類型2、逆向型

是指已知二次函數在某區間上的增減性或最值，求函數或區間中參數的取值。

3．（2019•武功縣一模）已知抛物線y＝x ² （m 1）x m，當x＝1時，y＞0，且當x＜﹣2時，y的值随x值的增大而減小，則m的取值範圍是（ ）

A．m＞﹣1 B．m＜3 C．﹣1＜m≤3 D．3＜m≤4

【解析】根據"當x＝1時，y＞0，且當x＜﹣2時，y的值随x值的增大而減小"列出不等式組并解答．

變式．（2019春•麻城市校級月考）已知當x≥1時，關于x的二次函數y＝x ² 2kx 1的函數值y随x的增大而增大，則k的取值範圍為（ ）

A．k＝﹣1 B．k≥﹣1 C．k≤﹣1 D．k≤1

【解析】利用二次函數的性質得到抛物線的對稱軸為：x＝﹣k，則當x≥﹣k時，函數值y随x的增大而增大，再根據"當x≥1時，關于x的二次函數y＝x ² 2kx 1的函數值y随x的增大而增大"，得到關于k的不等式，所以﹣k≤1，解得：k≥﹣1，選：B．

4．（2019春•江岸區校級月考）已知關于x的二次函數y＝x ² （2﹣a）x 5，當1≤x≤3時，y在x＝l時取得最大值，則實數a的取值範圍是（ ）

A．a≥2 B．a≤﹣2 C．a≥6 D．a＜0

【分析】由于二次函數的頂點坐标不能确定，故應分對稱軸不在1≤x≤3範圍内和對稱軸在1≤x≤3範圍内兩種情況進行解答．

【解答】當二次函數的對稱軸不在1≤x≤3内時，此時，對稱軸一定在1≤x≤3的右邊，函數方能在這個區域取得最大值，x＝﹣（2-a）/2×1 ≥3，即a≥8，

第二種情況：當對稱軸在1≤x≤3内時，對稱軸一定是在區間1≤x≤3的中點的右邊，因為如果在中點的左邊的話，就是在x＝3的地方取得最大值，即：x＝﹣（2-a）/2×1≥(1 3)/2，即a≥6（此處若a取6的話，函數就在1和3的地方都取得最大值），綜合上所述a≥6．故選：C．

【點評】本題考查了二次函數的最值問題，熟練掌握二次函數的增減性和對稱軸公式是解題的關鍵．

變式1.（2019•武漢模拟）已知抛物線y＝x²﹣4x 3，當0≤x≤m時，y的最小值為﹣1，最大值為3，則m的取值範圍為（ ）

A．m≥2 B．0≤m≤2 C．2≤m≤4 D．m≤4

【分析】利用配方法可找出：當x＝2時，y取得最小值，最小值為﹣1；代入y＝3可求出x＝0或4，再結合"當0≤x≤m時，y的最小值為﹣1，最大值為3"，即可找出m的取值範圍．

【解答】∵y＝x²﹣4x 3＝（x﹣2）2﹣1，

∴當x＝2時，y取得最小值，最小值為﹣1；

當y＝3時，有x²﹣4x 3＝3，解得：x₁＝0，x₂＝4，∴當x＝0或4時，y＝3．

又∵當0≤x≤m時，y的最小值為﹣1，最大值為3，∴2≤m≤4．故選：C．

變式2（2018秋•晉安區期中）二次函數y＝﹣（x﹣1）² 5，當m≤x≤n且mn＜0時，y的最小值為5m，最大值為5n，則m n的值為（ ）

A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3

【分析】條件m≤x≤n和mn＜0可得m＜0，n＞0，所以y的最小值為5m為負數，最大值為5n為正數．最大值為5n分兩種情況，（1）結合抛物線頂點縱坐标的取值範圍，求出n＝1，結合圖象最小值隻能由x＝m時求出．（2）結合抛物線頂點縱坐标的取值範圍，圖象最大值隻能由x＝n求出，最小值隻能由x＝m求出．

【解答】二次函數y＝﹣（x﹣1）2 5的大緻圖像如下：

①當m≤0≤x≤n＜1時，當x＝m時y取最小值，即5m＝﹣（m﹣1）² 5，

解得：m＝﹣4或m＝1（舍去）．

當x＝n時y取最大值，即5n＝﹣（n﹣1）² 5，

解得：n＝2或n＝﹣2（均不合題意，舍去）；

②當m≤0≤x≤1≤n時，當x＝m時y取最小值，即5m＝﹣（m﹣1）2 5，

解得：m＝﹣4或m＝1（舍去）．

當x＝1時y取最大值，即5n＝﹣（1﹣1）² 5，解得：n＝1，

或x＝n時y取最小值，x＝1時y取最大值，

5m＝﹣（n﹣1）² 5，n＝1，∴m＝5，

∵m＜0，∴此種情形不合題意，所以m n＝﹣4 1＝﹣3．故選：D．

變式3．（2019•濟南一模）已知二次函數y＝（x﹣h）² 1（h為常數），在自變量x的值滿足1≤x≤3的情況下，與其對對應的函數值y的最小值為10，則h的值為（ ）

A．﹣2或4 B．0或6 C．1或3 D．﹣2或6

【解析】∵當x＞h時，y随x的增大而增大，當x＜h時，y随x的增大而減小，

∴①若h＜1≤x≤3，x＝1時，y取得最小值10，可得：（1﹣h）2 1＝10，解得：h＝﹣2或h＝4（舍）；

②若1≤x≤3＜h，當x＝3時，y取得最小值10，可得：（3﹣h）2 1＝10，

解得：h＝6或h＝0（舍）；

③若1＜h＜3時，當x＝h時，y取得最小值為1，不是10，∴此種情況不符合題意，舍去． 綜上，h的值為﹣2或6，故選：D．

應注意總結在某區間上的最值有兩種：一是求最大值；二是求最小值，其解決之道稍有區别.

反思：兩個問題中抛物線都是開口向上，都是求自變量在一定範圍内的最值問題，但分類策略略有不同，前者（最小值）依據對稱軸與給定自變量範圍之間的相對位置關系分三類，數形結合，解決問題；後者（最大值）首先利用對稱性，确定對稱軸的臨界位置，然後依據"離對稱軸越近，相應的函數值越小"原理分類讨論；

為什麼兩種最值問題的分類标準略有不同？究其原因是：當抛物線開口向上時，最小值可能在給定區間的端點或抛物線的頂點處取得，而最大值隻可能在端點處取得.因此，對于開口向上的抛物線最小值問題，必須考慮對稱軸與給定區間的三種位置關系；而最大值問題隻需要考慮給定的兩個端點到對稱軸的遠近關系即可；同樣地，對于開口向下的抛物線，最大值要考慮對稱軸與給定區間的三種位置關系，而最小值隻需要利用對稱性，考慮給定的兩個端點到對稱軸的遠近關系即可.

精準練習

需要詳細答案的word版專題私信留言信箱索取，我會抽時間發送與你。期待你的留言互動，持續關注。

更多精彩资讯请关注tft每日頭條，我们将持续为您更新最新资讯!