基于學習路徑分析的“三位數乘兩位數”單元整體教學

——如何做好算理算法的遷移

朱海湖、鄒安琪、章勤瓊

數的運算一直是我國小學數學教學中的重要内容。《義務教育數學課程标準（2011年版）》中指出，“運算能力主要是指能夠根據法則和運算律正确地進行運算的能力。培養運算能力有助于學生理解運算的算理，尋求合理簡潔的運算途徑解決問題”。這樣的表述表明運算能力并不僅僅體現在計算準确度和速度上，更體現為在方法合理的基礎上理解算理并求出正确答案。運算能力還有更豐富的内涵，如基本口算、理解算理、掌握算法、運算策略等。

“三位數乘兩位數”單元是小學階段整數乘法計算的最後一個知識模塊。以人教版教材為例，教材在三年級上冊中編排了“兩位數乘一位數”的内容，這是學生學習“筆算乘法”的起始課，以幫助學生形成規範的筆算格式；三年級下冊編排了“兩位數乘兩位數”的内容，引導學生通過點子圖理解算理，掌握“‘另一個因數十位上的數乘第一個因數’的積的末尾如何對齊”的計算方法。教材在編寫這兩個計算内容時都及時融入口算與估算的教學，試圖通過口算與估算幫助學生達成對算理的深入理解，熟練算法。而在四年級上冊“三位數乘兩位數”單元，教材編排的第一課時就是筆算，沒有口算，豎式計算過程中也不再有算理學習的痕迹。這樣的教學編排隐含着“遷移學習”之意。作為教師，應如何理解本單元的教學是為後續多位數乘法以及小數乘法提供計算模型？如何提升學生的計算技能與策略？本文基于學習路徑分析，對“三位數乘兩位數”單元進行了整體教學的思考。

一、理解單元學習目标

（一）單元教學内容概述

人教版教材四年級上冊“三位數乘兩位數”單元的教學目标主要是：

（1）理解三位數乘兩位數的筆算算理，并會計算。

（2）經曆探索“積的變化規律”的過程，理解規律内涵，并能運用規律使一些計算簡便。

（3）結合具體情境，了解“總價=單價×數量”“路程=速度×時間”等常見的數量關系，并能運用這些數量關系解決一些簡單的實際問題。

北師大版教材四年級上冊“衛星運行時間”單元的教學目标主要是：

（1）結合具體情境，探索三位數乘兩位數的計算方法，理解豎式計算方法的道理。

（2）能用豎式正确計算三位數乘兩位數，會進行估計。

（3）能運用乘法知識與估算策略解決一些實際問題，提高分析問題和解決問題的能力。

（4）結合計算器探索有趣的乘法算式，在分析與比較中發現規律。

對比發現，兩個版本教材都提出了“能正确計算三位數乘兩位數、理解筆算算理，且能運用不同策略使計算簡便或解決實際問題”等要求，但對于具體内容的安排略有不同。北師大版教材在習得基本算理、算法後，引導學生用估算、計算器等方式解決問題，提倡算用結合，注重問題解決的策略。而人教版教材傾向于算理的理解、算法的掌握，旨在為後續進一步學習乘法運算做準備。

由此得出，本單元的教學内容有以下三個方面：

（1）理解三位數乘兩位數的算理，掌握計算方法。

（2）發現、理解并運用“積的變化規律”，進一步培養運算能力。

（3）了解兩種常見的數量關系：總價=單價×數量，路程=速度×時間，并運用不同的運算策略解決一些實際問題。

（二）确定核心目标

本單元需關注運算能力的培養。曹培英老師提出了“四面體模型”，對運算能力結構進行了刻畫：基本口算與進一步的算法、算理共同構成運算能力的底部。運算能力的提高必須建築在這一基礎上。運算策略是指運算信息的挖掘與運算問題的定向、運算方法的選擇與運算過程的簡化及其自覺評價。運算策略水平是鑒别運算能力的敏感因素。

“三位數乘兩位數”是整數乘法學習的最後一個階段，教師在教學時要對整數乘法的算理和算法進行回顧和整理，其作用是總結整數乘法的一般方法，也就是“用一個因數每一位上的數分别乘另一個因數”，并進一步幫助學生理解算理，建構起乘數是兩位數的乘法運算法則。因此本單元的核心目标是“理解三位數乘兩位數的算理，進一步培養運算能力”，這也是後面學習其他乘法内容的基礎。

（三）核心目标具體化

結合以上整體分析，将核心目标具體化為：

（1）理解三位數乘兩位數的算理。主要有兩個内容，即能将兩位數乘兩位數的算理與算法遷移運用于三位數乘兩位數，讨論交流總結多位數乘兩位數的一般方法。

（2）進一步培養運算能力。具體表現為掌握乘法的運算性質，理解積的變化規律，并能對其進行靈活運用，使一些計算簡便，便于梳理基于乘法運算的數量關系，發展多元的運算策略。

二、确定學習起點

為了更好地了解學生的知識起點，從三位數乘兩位數的算理、算法的理解程度和運算策略兩個方面對四年級學生進行了調查。

（一）學生對算理、算法的理解情況分析

測試題：按要求計算下面這道題，并寫出每一步代表的含義。

測試結果如表1所示。

根據前測結果不難發現，由于三位數乘兩位數的教學内容是在兩位數乘兩位數的基礎上學習的，超過90%的學生能将兩者的計算方法進行關聯，利用以往的學習經驗，采用遷移算法的方式進行計算。但對算理的理解會顯得困難一些。

（二）學生對運算策略的使用情況分析

1．因數中間和末尾有0的情況

測試題：筆算下面各題，并說一說你是怎麼想的。

220×40　　108×40

學生解答方法與情況分析如表2所示。

2．解決問題中運算策略的使用情況

《數學作業本》中有這樣一道題：“王大伯的茄子地，面積是225平方米，長是45米，現在要将寬擴大2倍，則王大伯的茄子地現在是多少平方米？”有80%的學生采用常規方法計算：225÷45=5（米），5×2×45=450（平方米）。幾乎沒有學生想到用積的變化規律解決問題，說明學生受以往學習經驗的影響較大，運用不同策略解決問題的意識相對淡薄。

基于對學生算理、算法理解情況和運算策略使用情況的分析得出啟示：教師要借助有效的情境，幫助學生理解乘數是兩位數時用“十位上的數”與“個位上的數”分别乘另一個因數的相應的算理，并建構起乘數是兩位數的乘法運算法則。引導學生在準确計算的基礎上，運用一定的計算策略靈活解題。

三、單元整體設計的思考

按照人教版教材的編排，“三位數乘兩位數”單元的學習分為三個階段：第一階段教學三位數乘兩位數筆算，先教學一般筆算方法，再學習因數中間、末尾有0的乘法；第二階段教學積的變化規律；第三階段教學常見的數量關系：總價=單價×數量，路程=速度×時間。

根據學情分析，考慮将因數中間、末尾有0的乘法的學習進行調整，将此内容分為兩部分：第一部分是算理算法的學習，用三位數乘兩位數的一般方法進行計算；第二部分是運算策略的學習，比如可以利用積的變化規律幫助學生理解因數末尾有0的情況，也就是說，筆算220×40時，先算22×4，再利用積的變化規律——因為兩個因數各擴大10，所以積會擴大100倍，在豎式的結果上直接添加兩個0。

綜上所述，基于學生學情，将本單元知識教學的“序”做如下調整（如表3），更符合學生的學習路徑。

經調整後，雖然本單元的教學内容仍舊分為三個階段，但每一階段的具體學習内容有所調整。第一階段主要是對算理、算法的遷移，因而對原教材中“已知速度、時間，求路程”的情境進行調整，改為“單價×數量=總價”的模型，運用乘法的意義更好地鞏固算理的表達。第二階段是運用積的變化規律靈活計算，需要2個課時進行學習，将“有0的情況的簡便書寫”融合進來，注重不同運算策略的運用。第三階段主要學習常見的數量關系。同時，在總課時不變的情況下做适度拓展。本單元具體教學内容的安排如表4所示。

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