此類問題的解法在第一學段已經學過，從學生的試卷看幾乎都用除法計算，這說明學生在低年級關于乘除法的模型的建立還是比較好。但問題就出在“比較好”上，也就是說學生對乘除法的“正整數”模型掌握很好，阻礙了學生對此模型的拓展。如果說責任，責任在教師，如前所述“教師忽視了在後續教學中的關聯、更新與重構，造成概念順應上的“脫節”，使學習效果大打折扣。”這就相當于多年前我總結的“方便面”現象，再複雜的問題換上“方便面”學生也會解決，因為方便面的數量關系簡單、數字清晰。

此類問題的存在固然可以從數量關系教學這一角度去分析，但這不應被等同于學生的實際思維過程，隻有立足于學生已有的知識經驗，探求已有經驗對學生産生的影響及數域擴展後給學生帶來的乘除法學習障礙，才能真正厘清學生的思維走向，進而對症下藥。

毫無疑問，在乘除法教學中，意義的教學是首要的。縱觀整個小學階段，乘除法意義實際上呈現不斷發展的特點，這同時又可看成一個更為漫長的發展過程中的一個環節。從宏觀的角度看，二年級的乘除法意義學習階段性十分明顯，教師無疑會限于并強調“同數連加”的意義，這時學生所形成的内在表征就會有較大的局限性。特别是，由于學生在開始學習乘除法時所接觸到的都是比較簡單的情況，也即主要局限于正整數的乘除，從而就很容易形成以下的觀念：“乘法總是使數變大，除法則總是使數變小；乘除法中各部分都是整數。”到了第二學段，數概念得到了進一步擴展，此時教師更多關注計算本身，對于乘除運算意義一般都隻是寥寥數語帶過，或簡單地以“與整數乘除法意義相同”走過場，而恰恰忽視了乘除運算意義在新數域的推廣過程及所獲得的新的含義，以乘法為例，增加了“已知整體求部分”，如“6的2倍是多少？”，相應的除法則是“求取整體”，即如“已知一個數的2倍是4，求這個數？”

顯然，從這樣的角度去分析，前面所提及的錯誤的發生也就不足為奇了，因為，這在很大程度上反映了這樣的現實：學生依據直覺意識到應該用除法計算，而且每天的“千米數”也應該是整數。按照他們已建立的觀念，選擇了除法。在學生頭腦中的乘除法各部分應是整數，所以不假思索大數除以小數。

事實上，以上盡管通過分析學生思維找到了其錯誤的根源，但我們也應看到這種錯誤的“合理性”，站在學生的角度，他們不過是将僅僅适用于正整數乘除的某些“規律”錯誤地推廣到了小數的情況，這當然應當被看成學生思維發展的一個必然過程。關鍵是，作為教師應清楚地認識學生在乘除法意義學習中的局限性和困難，采取适當的措施引導學生較為自覺地去實現對乘除法意義的必要的推廣與更新。

（二年級上冊教師用書134頁）格裡爾在“作為情境模型的乘除法”一文中指出：為了使純形式的推廣在直觀上能夠被接受，必須輔以一些具體情境，在其中所說的推廣可以被認為十分必要和完全合理的。對于乘除法意義本身而言，其内容是很枯燥的，但它植根于現實的沃土，意蘊豐富。

在小學階段，乘除法的現實模型大緻有以下幾種：

①等量組的聚集。即通常所說的“連加”。在這一情境下，兩個因數的地位并不完全對稱（單位不相同），也就是過去所說的“每份數”、“份數”。從而，也就有兩種不同的除法逆運算，即通常所說的“平均分”、“包含除”。二年級初步認識乘法時，教材不強調乘的順序。我覺得這是不妥的，要從開始認識乘法時就給學生嚴謹的印象，而不是怎麼乘都行，當然這和單獨乘法運算不同，這時的乘法是有“故事”的。

②倍數問題。如“某種飲料中水的含量是果汁含量的3倍，現有果汁20千克，問需加配多少千克的水？”

③配對問題。如“4個男孩與3個女孩出去遊玩，如果選出1個男孩與1個女孩外出購物，問一共有多少種選取方法？”這也是“搭配問題”。搭配問題也就是乘法問題，并非簡單列舉得到答案即可。搭配問題的乘法模型是“幾個幾”，即分幾組、每組幾個。

④長方形的面積。如“已知長方形長10厘米，寬是3厘米，問長方形的面積是多少？”

按照格裡爾的觀點，在後兩種情況下，兩個因數的位置是完全對稱的。還有研究者将乘法模型概括為：等量組的聚集、矩形模型、配對模型和倍數模型，并認為最基本的是第一種模型，其他幾種都可以轉化為第一種。此外，還有速度——時間模型、單價——數量模型工作效率——時間模型、密度——體積模型。

這幾種原型在第一學段均已出現，但在學生頭腦中的印象是淺顯的、零散的，僅限于正整數，且并未形成對乘法意義的階段性完整認識。随着學生數概念的發展，相應的乘法意義應與其相互促進。在教學中，教師仍應努力豐富學生頭腦中的乘除法意義原型，提高其對意義的表征能力。

在五年級上冊“小數乘法”單元，教師可以設計這樣的問題：請用你喜歡的情境表達“1.3×5”的意義（“新課程标準”非常提倡這樣的訓練，從一年級開始就建議老師進行這方面的訓練。在2015年期末考試時，我出了一道這樣的試題：用圖形表示“6＋3”，兒童雖然表示的五花八門，但都能突出“合起來”這一結構性特點）。

對于如何表示“1.3×5”的意義，經過充分的思考、讨論、交流，學生會産生很多想法：如購物、長度、質量、面積等數學問題，如畫實物圖或線段圖，如用文字或加法算式直接說明。

學生的表現形式會有一個從單一到豐富的過程，這也從不同角度反映了不同個體對乘法意義在小數域中的認識表征。此時，教師要相機地引導學生對作品進行歸類，尋找異同，理解作品背後所表示的意義。學生在整理後會發現：1.3×5既可以表示5個1.3（等量組的聚集），也表示5的1.3倍或1.3的5倍（倍數問題），還可以用在面積計算中等。也正是在這樣的交流共享中，學生原先停留在正整數領域中的乘法意義有了進一步的發展，在豐富的原型中體會到乘法意義在小數領域的本質推廣與延伸。

建構主義認為，對于學生在概念學習中發生的錯誤不應單純依靠正面的示範和反複練習去糾正，而應以引發主體内在的“觀念沖突”為必要前提，使其經曆“自我否定”的過程。高年級學生正處于形象思維向抽象思維發展的過渡階段，已經具備一定的思考能力，如果教師隻是簡單地将乘除法意義“教”給學生，缺少學習主體的自我内化過程，那麼概念的發展就如浮光掠影。因此，教師應創設能引發學生概念沖突的情境，引導學生主動對先前的乘除法意義的認識作出必要的調整，将新的含義悅納到已有的知識體系中。

以分數乘法的教學為例，教師在教學中可出現這樣一組情境：

①我的繩子長1/3米，小明的繩長是我的3倍，小明的繩子有多長？

②我的繩子長3米，小明的繩長是我的1/3，小明的繩子有多長？

引導學生通過畫圖、讨論得出算式，反饋時，教師适時追問：都是1/3×3，表示的意義相同嗎？這就引發學生的思維沖突：如果說第一題可用“3個1/3 ”解釋，那麼後一題顯然不能，這題的意義又該怎樣表述？這樣，在對同一算式不同含義的挖掘中，學生很直接地感受到隻用以前的“同數連加”的乘法意義已不足以解釋分數乘法出現的新問題，産生了認知沖突，有了擴展新含義的需要。

在此基礎上，教師及時引導學生對第二題的算式意義進行研究，注意其發展變化。并指出在引入分數以後，“倍”的概念發展了，既包含了原來的“整數倍”、“小數倍”，也包括了這節課所學的“一個數的幾分之幾是多少”。這樣，學生經曆了“沖突——建構——順應”的學習過程，新概念的融入便不再是教師強加，而是主動的更新與順應。

學生在數域擴展後，容易将在整數乘除法意義學習中的一些“規律”錯誤地推廣到小數、分數乘除法學習中，繁雜的數據構成了學生在學習小數、分數乘除法中的一大障礙。面對新題目，學生往往更多地關注情境中所包含的數量，而不注意其中的文字内容，以及内容背後的運算意義。對此，教師不妨立足學生的思維方式，化繁為簡，抓住本質，以此修正認識誤區。

基于這樣的思考，以分數的除法意義教學為例，教材在編排中已經考慮到了學生的學習困難，采用由整數乘除法改編數據後過渡到分數乘除法的方式，幫助學生理解“分數除法的意義與整數除法的意義相同”，即“分數除法是分數乘法的逆運算”。從表面上看，學生通過舊有知識已經促成了新知理解，而事實上，學生此時的理解僅僅是在特定題組中的，脫離題組這根“拐杖”，學生又會受到數據的幹擾。因此，教師要緊接着出示這樣一組題，可以要求學生隻列式不計算：

①把10平均分成2份，每份是多少？

②10裡面有幾個1/5?

③10是2的幾倍？

④一個數的1/5是8，這個數是多少？

⑤兩個因數的積是20，其中一個因數是4/5，另一個因數是幾？

可以發現，這組題雖然脫離了具體的情境，但都直指除法意義本身。在學生列式後，教師追問：你是憑什麼選擇用除法計算的？是否用除法計算，與題目中的數據有關嗎？這時，學生就會走出情境，思考題目背後的意義，思考自己選擇的初衷。“分數除法的意義與整數除法相同”，但具體表現在哪些地方呢？“平均分”、“包含除”、“倍數問題逆運算”、“已知部分求整體”等，這些都是除法意義在具體問題中的結構本原。學生知道了這一點，也就能避開數據産生的幹擾，而更關注于問題本身的含義，将視角從“關注數據”轉換到“關注意義”中來，進而，在面對複雜的情境、複雜的數據時，能以運算意義為依托，将問題簡化。

小學階段乘除法意義的教學應着力在階段性與發展性之間尋求平衡。換言之，對于任何數學概念的教學，教師都要立足于學生的思維狀态，關注其對概念的不斷更新、發展、重構，及時排除概念發展中的障礙，從而達成概念教學效果的最大化。

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