伽利略（1564-1642，明朝嘉靖43年-崇祯15年）是現代物理學之父、現代天文觀測之父、現代科學之父，他在《關于兩種新科學的對話》中寫到無限大的比較問題。當然，比較是人們常有的思維，比如比較職務高低、财富多寡等，但是，無限多的數之間怎麼比較多和少呢？這确實是個有意思的問題。解決這個問題，我們得從集合說起。

集合是什麼？簡單說就是把一堆東西放在一起。比如自然數放在一起，就形成了一個集合，稱它為自然數集合吧。把實數放在一起，形成實數集合。自然數有無限多個，實數也有無限多個，這兩集合誰的數量比較大呢？很直觀的，我們會認為實數集合的數量比較大，因為自然數集合隻是實數集合的一部分。沿着這樣的思路，我們把平方數放在一起，組成平方數集合，因為平方數集合也是自然數集合的一部分，那麼，平方數集合的數量應該比自然數集合的數量少，但是這樣對嗎？我們做如下的演示：

1 2 3 4 5 6 ... n ...

1 4 9 16 25 36 ......

我們發現平方數是能夠與自然數一一對應的，自然數有多少個，平方數就能有多少個，這樣一看兩者之間的量應該又是沒差别的，可是這又很違背我們的常識，部分的量怎麼就等于總體的量呢？可見在比較無限大時，是不能用我們對于比較有限大的理解。

數學家在研究集合時，提出了一個定義：如果集合A的任一元素都能在集合B中找到唯一的元素與之對應，同時，集合B的任一元素也能夠在集合A中找到唯一的元素與之對應，那麼集合A與集合B就建立起一一對應的關系，那麼就稱為集合A與集合B的勢是相同的。“勢”的概念是對有限集合元素數量的直接擴充，但兩者有很大的區别，有限集合元素數量本身是可以用一個非負整數來表示的，“勢”卻不相同，并沒有用數來表示。

按照上述的定義，數學家們把與自然數集一一對應的集合稱為可數集，否則，稱為不可數集。簡單理解就是如果能找到一種方法，把某集合裡的元素全部數一數（盡管無限多的元素，永遠也數不完，但可以一直數下去，而不遺漏任何一個元素），那麼，這個集合就叫做可數集。可數集的勢小于不可數集的勢，這樣一來，無限大的比較就有了結果。我們看幾個例子：

全部平方數組成的集合，因為能夠與自然數集一一對應，因此這兩個集合的勢相同，但你如果一定要用常見的關于“量”的思維來理解，那就簡單地認為這兩個集合的量相同吧。

全部整數（）組成的集合，全部奇數（）組成的集合，全部偶數（）組成的集合等，都能夠與自然數集一一對應，因此都是可數集。這些集合都很容易證明是可數集，比較難證明的是全部有理數組成的集合是不是可數集，全部實數組成的集合是不是可數集。數學家們早已證明了前者是可數集，後者是不可數集。簡述一下證明方法如下：

按照上述箭頭所示的方向，我們可以把全部有理數一一排列起來，再把相同的數去掉，就能夠與自然數集合一一對應起來，所以，全部有理數組成的集合是可數集。

康托爾用反證法證明了全部實數組成的集合是不可數集，首先假設該集合是可數，那麼，該集合的全部元素即可以按順序排列出來，我們先把0至1之間的所有實數排列如下：

............

現在我們構造一個數，同時，令，這樣一來，b就與上述序列中的任何一個數不同，且b一定是在0與1之間。所以，原假設不對，也就證明了全部實數組成的集合是不可數集合。這種證明方法叫做康托爾對角線法，許多命題的證明都要用到它。

由于全部有理數組成的集合是可數集，而全部實數組成的集合是不可數集，也就證明了無理數的存在，而且，雖然有理數是處處存在的，但是，無理數更是無處不在。相比無理數，有理數不過是滄海一粟！

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