最小二乘法主要用來求解兩個具有線性相關關系的變量的回歸方程，該方法适用于求解與線性回歸方程相關的問題，如求解回歸直線方程，并應用其分析預報變量的取值等．破解此類問題的關鍵點如下：

①析數據，分析相關數據，求得相關系數r，或利用散點圖判斷兩變量之間是否存在線性相關關系，若呈非線性相關關系，則需要通過變量的變換轉化構造線性相關關系．

②建模型．根據題意确定兩個變量，結合數據分析的結果建立回歸模型．

③求參數．利用回歸直線y=bx a的斜率和截距的最小二乘估計公式，求出b，a，的值．從而确定線性回歸方程．

④求估值．将已知的解釋變量的值代入線性回歸方程y=bx a中，即可求得y的預測值．

注意:回歸直線方程的求解與應用中要注意兩個方面：一是求解回歸直線方程時，利用樣本點的中心（x，y）必在回歸直線上求解相關參數的值；二是回歸直線方程的應用，利用回歸直線方程求出的數值應是一個估計值，不是真實值．

經典例題：

下圖是某地區2000年至2016年環境基礎設施投資額（單位：億元）的折線圖．

為了預測該地區2018年的環境基礎設施投資額，建立了與時間變量的兩個線性回歸模型．根據2000年至2016年的數據（時間變量的值依次為1,2.，……，17）建立模型①：y=-30.4 13.5t；根據2010年至2016年的數據（時間變量的值依次為）建立模型②：y=99 17.5t．

（1）分别利用這兩個模型，求該地區2018年的環境基礎設施投資額的預測值；

（2）你認為用哪個模型得到的預測值更可靠？并說明理由．

思路分析：（1）兩個回歸直線方程中無參數，所以分别求自變量為2018時所對應的函數值，就得結果，（2）根據折線圖知2000到2009，與2010到2016是兩個有明顯區别的直線，且2010到2016的增幅明顯高于2000到2009，也高于模型1的增幅，因此所以用模型2更能較好得到2018的預測.

解析：（1）利用模型①，該地區2018年的環境基礎設施投資額的預測值為

=–30.4 13.5×19=226.1（億元）．

利用模型②，該地區2018年的環境基礎設施投資額的預測值為

=99 17.5×9=256.5（億元）．

（2）利用模型②得到的預測值更可靠．理由如下：

（i）從折線圖可以看出，2000年至2016年的數據對應的點沒有随機散布在直線y=–30.4 13.5t上下，這說明利用2000年至2016年的數據建立的線性模型①不能很好地描述環境基礎設施投資額的變化趨勢．2010年相對2009年的環境基礎設施投資額有明顯增加，2010年至2016年的數據對應的點位于一條直線的附近，這說明從2010年開始環境基礎設施投資額的變化規律呈線性增長趨勢，利用2010年至2016年的數據建立的線性模型=99 17.5t可以較好地描述2010年以後的環境基礎設施投資額的變化趨勢，因此利用模型②得到的預測值更可靠．

（ii）從計算結果看，相對于2016年的環境基礎設施投資額220億元，由模型①得到的預測值226.1億元的增幅明顯偏低，而利用模型②得到的預測值的增幅比較合理，說明利用模型②得到的預測值更可靠．

以上給出了2種理由，考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分．

總結：若已知回歸直線方程，則可以直接将數值代入求得特定要求下的預測值；若回歸直線方程有待定參數，則根據回歸直線方程恒過中心點求參數.

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