1．等腰三角形

(1)概念：有兩邊相等的三角形叫等腰三角形，其中相等的兩邊叫腰，另一條邊叫底邊，兩腰的夾角叫做頂角，腰與底邊的夾角叫做底角．

(2)理解：①等腰三角形是特殊的三角形，它具備三角形所有的性質，如内角和是180°，兩邊之和大于第三邊等．②等腰三角形是軸對稱圖形，這既是等腰三角形的特點也是研究它的重要方法．

破疑點 等腰三角形有關概念的認識　(1)對于等腰三角形問題，我們說角或邊時，一般都要指明是頂角還是底角，是底邊還是腰，沒說明則都有可能，要讨論解決，這是解決等腰三角形最容易忽視和錯誤的地方；(2)等腰三角形頂角可以是直角，是鈍角或銳角，而底角隻能是銳角．

【例1】 等腰三角形兩邊長分别是5 cm和11 cm，則它的周長是(　　)．

A．27 cm B．22 cm

C．27 cm或22 cm D．無法确定

2．等腰三角形性質1

(1)性質1：等腰三角形的兩個底角相等(簡寫成“等邊對等角”)．

(2)理解：這是等腰三角形的重要性質，它是證明角相等常用的方法，它的應用可省去三角形全等的證明，因而更簡便．

(3)适用條件：必須在同一個三角形中．

(4)應用模式：在△ABC中，因為AB＝AC，所以∠B＝∠C.

【例2】 已知等腰三角形的一個角為40°，則其頂角為(　　)．

A．40° B．80°

C．40°或100° D．100°

【例3】 如圖，AD、BC相交于O，AB∥CD，OA＝OB，求證：∠C＝∠D.

3.等腰三角形性質2

(1)性質2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．習慣上稱作等腰三角形“三線合一”性質．

(2)含義：這是等腰三角形所特有的性質，它實際上是一組定理，應用過程中，隻要是在等腰三角形前提下，知道是其中“一線”，就可以說明是其他的“兩線”，性質中包含有線段相等、角相等、垂直等關系，所以應用非常廣泛．

(3)對稱性：等腰三角形是軸對稱圖形，頂角平分線(或底邊上的高、底邊上的中線)所在的直線是它的對稱軸．

(4)應用模式：如圖，在△ABC中，

①∵AB=AC，AD⊥BC，

∴AD平分∠BAC(或BD=CD)；

②∵AB＝AC，BD＝DC，

∴AD⊥BC(或AD平分∠BAC)；

③∵AB＝AC，AD平分∠BAC，

∴BD＝DC(或AD⊥BC)．

【例4】 如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，交BC于D，BD＝5 cm，求底邊BC的長．

4．等腰三角形的判定

(1)判定定理：如果一個三角形有兩個角相等，那麼這兩個角所對的邊也相等(簡寫成“等角對等邊”)．

(3)理解：性質和判定應用的前提都是在同一三角形中，并且不經過三角形全等的證明，直接由等邊得等角或由等角得等邊，所以應用起來更簡單、便捷．

破疑點 等腰三角形的判定方法的理解

教材中涉及等腰三角形的判定方法主要有兩種：一是判定定理；二是定義．另外還有很多方法，如在同一個三角形中，三線中兩線重合，也能說明是等腰三角形．但不常用，一般是通過推理得出角相等或邊相等，再得出是等腰三角形．

【例5】 如圖，BE平分∠ABC，交AC于E，過E作DE∥BC，交AB于D.試證明△BDE是等腰三角形．

5．等邊三角形的概念和性質

(1)等邊三角形

①概念：三邊都相等的三角形是等邊三角形．

②認識：它是特殊的等腰三角形，具備等腰三角形的所有性質．

(2)性質：等邊三角形的三個内角都相等，并且每一個角都等于60°.

(3)拓展：等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸，它三邊相等，三個内角相等，各邊上的高、中線，對應的角平分線重合，且長度相等．

【例6】 如圖，點M、N分别在等邊△ABC的邊BC、AC上，且BM＝CN，AM、BN交于點Q.求證：∠BQM＝60°.

6．等邊三角形的判定

(1)判定定理：①三個角都相等的三角形是等邊三角形；②有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形．

(2)判定方法：等邊三角形的判定方法有三種：一是定義，另運用兩個定理．

(3)拓展理解：對于判定定理①，有時候在一個三角形中隻要有兩個角是60°也可判定是等邊三角形．

解技巧 巧用條件證明等邊三角形　在證明三角形是等邊三角形時，根據所給已知條件确定選擇用哪個方法證明．若已知三邊關系，一般選定義法；若已知三角關系，一般選判定定理①；若已知該三角形是等腰三角形，則選判定定理②.

【例7】 如圖，等邊△ABC中，點P在△ABC内，點Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，問△APQ是什麼形狀的三角形？試說明你的結論．

7．含30°角的直角三角形的性質

解技巧 巧用含30°角的直角三角形的性質　在有些題目中，若給出的角是15°角時，往往運用一個外角等于和它不相鄰的兩内角和将15°的角轉化為30°的角後，再利用這個性質解決問題．

【例8】 如圖，∠C＝90°，D是CA的延長線上一點，∠D＝15°，且AD＝AB，則BC＝__________AD.

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