“綜合與實踐”和“數與代數”“圖形與幾何”“統計與概率”,組成了義務教育階段數學課程的四大學習領域。其中,《義務教育數學課程标準(2022年版)》(以下簡稱2022标準)賦予“綜合與實踐”的目标是:培養學生綜合運用所學知識和方法解決實際問題的能力。筆者通過與以往版本課程标準(大綱)的變與不變的梳理、教育價值訴求的辨析,以及對課堂實踐的反思,試圖找尋一條實現2022标準目标要求的切實路徑。
一、較于其他标準的主要變化及教育主旨
第一次将“實踐”與“綜合”兩個詞語并列在一起的是2001年頒布的《義務教育數學課程标準(實驗稿)》(以下簡稱實驗稿),其要義是:“幫助學生綜合運用已有的知識和經驗,經過自主探索和合作交流,解決與生活經驗密切聯系的、具有一定挑戰性和綜合性的問題,以發展他們解決問題的能力,加深對數與代數、空間與圖形、統計與概率内容的理解,體會各部分之間的聯系。”
《義務教育數學課程标準(2011年版)》(以下簡稱2011标準)則指出:“綜合與實踐是一類以問題為載體、以學生自主參與為主的學習活動。在學習活動中,學生将綜合運用數與代數、圖形與幾何、統計與概率等知識和方法解決問題。”
而自1950年頒布的《小學算術課程暫行标準(草案)》,到2000年的《九年義務教育全日制小學數學教學大綱》,曆經50年7次課程改課9個大綱,都未将“綜合與實踐”作為一個獨立的學習領域,但在教學要求中有“綜合”“實踐”類似地描述,且主要以應用題的方式出現,見表1。
由此可見,建國70餘年以來雖然一直重視“綜合與實踐”,但“綜合與實踐”沒有成為數學術語,隻是在數與形的教學之後,以應用題的形式将所學聯系起來,并在實際中加以拓展運用。到第八次課程改革時,才将其專門列為一個領域的學習内容。
标準年份 |
内容表述 |
1950 |
多用事實本位的方法編制應用題,要具體而有趣。 |
1952 |
應用題的取材,不隻以日常生活需要範圍為限,還要加入特殊算法的應用題,發展兒童的邏輯思維與智慧。 |
1956 |
應當直接從日常生活裡和當地的生産裡找一些為兒童所能理解的材料編成應用題,反映人們的勞動生産和祖國各方面的建設,把兒童的算術學習和生活密切結合起來。 |
1963 |
生産勞動中和學習物理、化學等科時常用到應用題,為此要多聯系兒童所能理解的工農業生産實際,适當選擇一些富有教育意義的事例作為應用題的内容。 |
1978 |
借助兒童熟悉的事物、圖形,啟發學生掌握規律,解決實際問題。 |
1986 |
通過實際應用,激發學習的積極性;通過做一些綜合運用知識和富有思考性的題目,以發展學生的才能。 |
1988 |
初步學會運用所學的數學知識核方法去解決簡單的實際問題。 |
1992 |
教學要加強實踐活動,要引導學生從當地實際出發,進行調查,編成數學問題,進行計算、解答,培養解決是問題的能力。 |
2000 |
體驗數學知識之間的聯系,感受數學與現實生活的密切聯系,培養學生的,培養創新意識和實踐能力。 |
表1:1950年~2000年大綱“綜合與實踐”的内容表述
由此帶來的第二個顯著變化是,2022标準“綜合與實踐”有了更詳實的内容,實例由2011标準的8個增加到17個,見表2。概括來說就是将2011标準、實驗稿中原本屬于“數與代數”“圖形與幾何”領域中除長度以外其它人為規定的量,移至到了“綜合與實踐”領域;且以主題活動的形式呈現。較前兩個标準,基于2022标準的“綜合與實踐”還需要多學時的長程學習,而不像以往的散點式一個課時的點綴。
标準年份 |
内容結構 |
2001 |
第一學段實踐活動:設計遊覽計劃。第二學段綜合應用:設計合适的包裝方式,上海的電視塔有多高。 |
2011 |
第一學段:圖形分類,生活中的軸對稱圖形,記錄一周上學途中所需時間。第二學段:繪制校園平面圖,制定旅遊計劃,象征性長跑,估計高度,分類計數。 |
2022 |
第一學段涉及認識貨币單位,認識時間單位時分秒,認識東南西北四個方向;主題活動有:數學遊戲分享、歡樂購物街、時間在哪裡、我的教室、身體上的尺子、數學連環畫。第二學段涉及認識年月日,認識常用的質量單位,認識方向;主題活動有:紙的厚度、年月日的秘密、土圭之法的故事、尋找寶藏、度量衡的故事、制定旅遊計劃。第三學段涉及了解負數,在活動中綜合運用數學及其他學科知識解決問題;主題活動有:表達相反意義的量、校園平面圖、體育中的數學,項目學習:營養午餐、水是生命之源。 |
表2:2001年~2022年“綜合與實踐”課程标準内容結構
顯然,基于2022标準的“綜合與實踐”無論是教的方式,還是學的要求,都發生了很大的改變。但是,叩問其教育主旨,卻是一脈相承。透過表1可以窺見這50年裡,應用題教學不斷突破學科界限,試圖用數學知識去解決日常問題、工農業生産問題、其他學科問題,在思維提升中培養解決問題的能力,在問題的解決過程中,培養創造力。而2022标準正是基于這些願景,再賦予數學育人的内涵:結合中華優秀傳統文化,以及與學生密切相關的校園生活、社會生活,讓不同基礎、不同需求的學生都可以參與活動,發展模型意識,普遍提高學生學習數學的興趣、應用意識和創新意識。
二、可能的教學挑戰
2022标準要求“綜合與實踐”領域的教學活動,以跨學科主題學習為主。對于跨學科主題學習,歐雷姆等人認為“是一種以學生為中心,不拘于一個學科來運作廣泛主題探究的模式。”李祖祥認為“通過發揮學生的主體建構性和主觀能動性,以多個學科的主題探索來實現學生的全面發展。”由此,“跨學科學習”和“主題學習”有着相同的教育意蘊。但現實是老師們習慣于隻有數學的學科教學,為此必然帶來至少以下幾重挑戰。
1.教的不确定性
“綜合與實踐”的教學,解決的是現實世界問題。因為是現實問題,就不會直接給明數據,也沒有直接的問題解決的數量關系,這就要求學生自己去發現解決問題的關鍵要素,分析要素之間的關系與規律,從而形成方案。因為條件、關系的不明朗,學生在尋找問題要素的過程中,就會“自說自話”,教學也就充滿着不确定性,這極大地考驗着老師的教學機智,考驗着老師對學生思與行的洞見性。
2.去數學的誤解
一提到跨學科,很多老師想到的是一邊增加主題中其他學科的含量,一邊減少數學知識的參與程度。其實,數學是跨學科的基礎,喪失數學味的主題就會讓“四基”沒有着力點,沒有“四基”,學生很難使得數學結構化,更難以使得現實問題數學化。
3.過程與結果的平衡
平常的數學教學,過程是開放的,但結果一般是唯一的;其結果的唯一,也保證了思想開放是有導向的。但主題學習的不僅過程是開放性的,學習結果也是開放的,有的是“圖畫”,有的是“論文”,有的是“報告”,這就需要“圖畫”“論文”“報告”等等學習結果要體現數學模型,不能讓“圖畫”成為山水畫,讓“論文”變成小說。
三、可行的教學路徑
1.聯結學科内部
既然數學是通過對數量和數量關系的抽象,得到數學研究對象及其關系;那麼數學可以說在一定程度上是一種“關系學”。所以教學中,老師要引導學生發現知識之間的關系,發現看上去是不同的内容,卻因為數學本質而産生了關聯。如果關聯的基礎性越強、關聯的範圍越廣泛,就意味着知識得以壓縮。壓縮後的知識面對新問題時,啟動解壓縮後就具有舉一反三的效能。
例如“歡樂購物街”的教學,其主題是通過購物活動,在進行定價、付錢和找錢中,認識人民币的相關知識。但透過人民币1元=10角,1角=10分,要讓學生理解現實世界的“物”,可以用“量”來加以描述其屬性,如一維的長短,可以用幾厘米、幾米描述,二維的大小可以用幾平方厘米、幾平方米描述,質量維度可以用幾克、幾千克描述,“物”的價值則一樣可以度量,就是幾元、幾角。這樣,通過數學思維的定量就将難以言說的“物”表達了出來,而且今後的學習,都可以從不同的側面去度量“物”的大小多少。同時,在用量來描述的時候,需要進一步抽象為數,為了數出數,自然想到:統一标準,以小量大,兩個量間存在倍數關系,最好進率是10,因為整數計數是十進制的。當然,其它進率均有存在的理由,但其原理又與十進制相同。
2.“四基”深度卷入
基礎知識、基本技能是實踐的根本,基本活動經驗、基本思想方法是綜合的抓手。跨過“四基”去深入主題,就喪失了理性精神的熏陶。
例如“穹窿山平面圖”的教學,可以設計這些活動:第一,了解穹窿山山名的來曆,以及與穹窿山有關的曆史典故,主要景點,以自傳的形式彙報;第二,視頻欣賞,為穹窿山設計宣傳語。第三,繪制平面圖,與景區導覽圖對比,給景區導覽圖提出個性化的建議。第四,分享作品,介紹設計過程的得失。四次活動中的第一第二兩項,其實未涉及數學,但激發了設計的熱情,産生了一股用數學表達美的沖動。但是情緒需要付出理性思考的代價,将實際景物縮小到圖上,如何構建比例尺;形狀不規則,如何測量;實際景點的方位,如何對應平面圖的布局……比例尺,空間中的景物關系抽象為平面圖形及其位置關系,測量……“四基”講述了現實世界的美麗故事,數學美與藝術美、文學美碰撞,讓學生更加明晰數學分析問題、解決問題的工具性作用,數學的應用直接為社會創造價值,推動生産力的發展。
3.融合超越現實
從數學現實出發,在與其他學科的融合理解中,發現自己還可以破除自己認知的困頓,看見更智慧、更有靈性的自己。
例如“度量衡故事”的教學,首先查閱有關度量衡的資料,了解度量衡的曆史與發展,知道秦始皇統一度量衡的故事,古代計量單位和現代計量單位的差别;其次指導學生查閱工具書,學習與度量衡有關的成語,如“不積跬步無以至千裡”“半斤八兩”等,将這些計量單位換算成現代計量單位;接着組織學生将自己的作品進行集中展覽。最後關聯計量單位進率與十進制計數法。很多學生以為語文歸語文,數學歸數學,它們之間很難産生交集,比如學生記住了“半斤八兩”指的是彼此水平相當的意思,但他們不知道其實古時半斤等于八兩,正因為在數學上半斤等于八兩,“半斤八兩”才會有文學上勢均力敵的意味,這是一個數學成就文學的成語。而現代中國,一斤是10兩,那半斤則是五兩,由此讓學生在10進制與16進制之間轉化,正是文學性與理性兩種思維方式,讓學生沖破了自己認知的藩籬,從而用不同的進制體驗不同的生活。進一步也能體會到秦始皇統一度量衡的意義所在,甚至想到人們不斷精确1米到底有多長,唯有抛棄實際的器物,用數學的形式化定義才能精準表達(均分子午線的長度,制造米原器,定義為光在真空中于1/299 792 458秒内行進的距離”。而這也是數學求真的精神所在,也是學習綜合與實踐的育人價值所在。
綜上所述,世界上隻有尚未認識的事物,沒有不可認識的事物。一旦用數學的眼光去觀察,事物就在數與形的刻畫中,可度量,可直觀感受;不過,對世界的認識不是一次完成的,而是一個不斷反複、不斷數學化的過程。這個過程,便是綜合與實踐的過程。換句話說,正是綜合與實踐,讓數學發現成為可能,讓數學創造成為可能。
作者:陳六一(南京師範大學蘇州實驗學校)
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