分布是用來描述事件（通常用随機變量X表示）發生規律的數學工具，比如X~N(78, 9)描述了某個考試科目考試成績的分布情況，服從均值為78，方差為9的正态分布。我們常用直方圖或概率密度曲線來展示分布特點（如下圖）。#尋找真知派#

圖1 考試成績分布圖（正态分布）

事件的分布類型有很多種，比如指數分布、t分布、泊松分布等，每種分布都對應于一個概率密度函數（連續随機變量）或概率質量函數（離散随機變量）。通過這個函數，我們就可以估算某個事件發生的概率（反之亦可）。這為我們認識問題、分析問題提供了強有力的工具。

圖2 指數分布

圖3 泊松分布

在所有的分布種類中，正态分布是一個很神奇的分布。大多數自然現象和社會事件都服從正态分布，比如身高、收入水平、智力水平等。正态分布的特點是分布曲線是左右對稱的，極端現象發生的概率小，而通常現象的發生率高。如圖1的成績分布，大多數學生的成績在70-85之間，極少數高分和低分。正态分布反映了“普通情況是大多數，極端情況是少數且不失偏頗（極大極小機會均等）”的客觀規律。有人将其譽為“上帝創造的公平機制”。

圖4 N（μ,σ2）正态分布的概率密度函數

另外，根據中心極限定理，任何分布，随着其自由度或樣本量的增大，其均值都會服從正态分布，也就是說正态分布是所有分布的終極形态。任何一種分布，通過數據變換（如對數化或Box-Cox變換），都可以轉化為正态分布，然後進一步求解。在統計分析和機器學習中，正态分布起着基礎性的關鍵作用，也就是說如果沒有正态分布，就沒有這些數據分析方法。

為什麼會這樣呢？因為正态分布最具普遍性，而且是最簡潔最容易計算的分布。其中心趨勢（均值、中位數、衆數）均相等，且整個分布僅需指定兩個參數——均值μ和方差σ2。

下面我們來看一個例子：

一個5000人的生活區，放置了45個水龍頭。假如在某一時刻1個人用水的概率是1%，（1）試分析發生排隊的可能性有多高？（2）至少要裝多少個水龍頭，才能以95％以上的概率保證不擁擠？

我們先來看第一個問題。

用水事件服從二項分布，即ζ~B(5000,0.01)。其均值μ=5000*0.01=50,方差σ2=49.5，标準差σ=7.04。 那麼出現排隊的概率就是

二項分布下的概率計算

但上述公式求解非常麻煩。我們可以根據德莫佛——拉普拉斯中心極限定理，将上述問題轉化為正态分布N(50,49.5)，予以求解。

轉化為标準正态分布，進行概率計算

所以發生排隊的概率P(ζ > 45) = 1 − 0.2389 = 0.7611。用水出現擁擠是大概率事件，亟待改善。

現在我們再來看第二個問題，需要多少個水龍頭才能保證95%的可能性不排隊呢？即

我們可以将上式轉化為标準正态分布的形式

于是我們得到了

即

m>=61.6，即m=62。需要再增加17個水龍頭，便可保證有95%的可能性不排隊。#技術技能超級玩家#

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