列舉法

解應用題時，為了解題的方便，把問題分為不重複、不遺漏的有限情況，一一列舉出來加以分析、解決，最終達到解決整個問題的目的。這種分析、解決問題的方法叫做列舉法。

列舉法也叫枚舉法或窮舉法。

用列舉法解應用題時，往往把題中的條件以列表的形式排列起來，有時也要畫圖。

例1

一本書共100頁，在排頁碼時要用多少個數字是6的鉛字？（适于三年級程度）

解：

把個位是6和十位是6的數一個一個地列舉出來，數一數。

個位是6的數字有：6、16、26、36、46、56、66、76、86、96，共10個。

十位是6的數字有：60、61、62、63、64、65、66、67、68、69，共10個。

10 10=20（個）

答：在排頁碼時要用20個數字是6的鉛字。

*例2

從A市到B市有3條路，從B市到C市有兩條路。從A市經過B市到C市有幾種走法？（适于三年級程度）

第一種走法：A ① B ④ C

第二種走法：A ① B ⑤ C

第三種走法：A ② B ④ C

第四種走法：A ② B ⑤ C

第五種走法：A ③ B ④ C

第六種走法：A ③ B ⑤ C

答：從A市經過B市到C市共有6種走法。

*例3：

9○13○7=100

14○2○5=□

把 、-、×、÷四種運算符号分别填在适當的圓圈中（每種運算符号隻能用一次），并在長方形中填上适當的整數，使上面的兩個等式都成立。這時長方形中的數是幾？（适于四年級程度）

解：把 、-、×、÷四種運算符号填在四個圓圈裡，有許多不同的填法，要是逐一讨論怎樣填會特别麻煩。如果用些簡單的推理，排除不可能的填法，就能使問題得到簡捷的解答。

先看第一個式子：9○13○7=100

如果在兩個圓圈内填上“÷”号，等式右端就要出現小于100的分數；如果在兩個圓圈内僅填“ ”、“-”号，等式右端得出的數也小于100，所以在兩個圓圈内不能同時填“÷”号，也不能同時填“ ”、“-”号。

要是在等式的一個圓圈中填入“×”号，另一個圓圈中填入适當的符号就容易使等式右端得出100。9×13-7=117-7=110，未湊出100。如果在兩個圈中分别填入“ ”和“×”号，就會湊出100了。

9 13×7=100

再看第二個式子：14○2○5=□

上面已經用過四個運算符号中的兩個，隻剩下“÷”号和“-”号了。如果在第一個圓圈内填上“÷”号， 14÷2得到整數，所以：

14÷2-5=2

即長方形中的數是2。

*例4：

印刷工人在排印一本書的頁碼時共用1890個數碼，這本書有多少頁？（适于四年級程度）

解：

（1）數碼一共有10個：0、1、2……8、9。0不能用于表示頁碼，所以頁碼是一位數的頁有9頁，用數碼9個。

（2）頁碼是兩位數的從第10頁到第99頁。因為99-9=90，所以，頁碼是兩位數的頁有90頁，用數碼：

2×90=180（個）

（3）還剩下的數碼：

1890-9-180=1701（個）

（4）因為頁碼是三位數的頁，每頁用3個數碼，100頁到999頁，999-99=900，而剩下的1701個數碼除以3時，商不足600，即商小于900。所以頁碼最高是3位數，不必考慮是4位數了。往下要看1701個數碼可以排多少頁。

1701÷3=567（頁）

（5）這本書的頁數：

9 90 567=666（頁）

答略。

*例5：

用一根80厘米長的鐵絲圍成一個長方形，長和寬都要是5的倍數。哪一種方法圍成的長方形面積最大？（适于四年級程度）

解：要知道哪種方法所圍成的面積最大，應将符合條件的圍法一一列舉出來，然後加以比較。因為長方形的周長是80厘米，所以長與寬的和是40厘米。列表3-1：

表3-1

表3-1中，長、寬的數字都是5的倍數。因為題目要求的是哪一種圍法的長方形面積最大，第四種圍法圍出的是正方形，所以第四種圍法應舍去。

前三種圍法的長方形面積

分别是：

35×5=175（平方厘米）

30×10=300（平方厘米）

25×15=375（平方厘米）

答：當長方形的長是25厘米，寬是15厘米時，長方形的面積最大。

第二部分：

*例1：

小明有10個1分硬币，5個2分硬币，2個5分硬币。要拿出1角錢買1支鉛筆，問可以有幾種拿法？用算式表達出來。（适于五年級程度）

解：

（1）隻拿出一種硬币的方法：

①全拿1分的：

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1=1（角）

②全拿2分的：

2 2 2 2 2=1（角）

③全拿5分的：

5 5=1（角）

隻拿出一種硬币，有3種方法。

（2）隻拿兩種硬币的方法：

①拿8枚1分的，1枚2分的：

1 1 1 1 1 1 1 1 2=1（角）

②拿6枚1分的，2枚2分的：

1 1 1 1 1 1 2 2=1（角）

③拿4枚1分的，3枚2分的：

1 1 1 1 2 2 2=1（角）

④拿2枚1分的，4枚2分的：

1 1 2 2 2 2=1（角）

⑤拿5枚1分的，1枚5分的：

1 1 1 1 1 5=1（角）

隻拿出兩種硬币，有5種方法。

（3）拿三種硬币的方法：

①拿3枚1分，1枚2分，1枚5分的：

1 1 1 2 5=1（角）

②拿1枚1分，2枚2分，1枚5分的：

1 2 2 5=1（角）

拿出三種硬币，有2種方法。

共有：

3 5 2=10（種）

答：共有10種拿法。

*例2：

甲、乙、丙、丁與小強五位同學一起比賽象棋，每兩人都要比賽一盤。到現在為止，甲賽了4盤，乙賽了3盤，丙賽了2盤，丁賽了1盤。問小強賽了幾盤？（适于五年級程度）

解：作表3-2。

表3-2

甲已經賽了4盤，就是甲與乙、丙、丁、小強各賽了一盤，在甲與乙、丙、丁、小強相交的那些格裡都打上√；乙賽的盤數，就是除了與甲賽的那一盤，又與丙和小強各賽一盤，在乙與丙、小強相交的那兩個格中都打上√；丙賽了兩盤，就是丙與甲、乙各賽一盤，打上√；丁與甲賽的那一盤也打上√。

丁未與乙、丙、小強賽過，在丁與乙、丙與小強相交的格中都畫上圈。

根據條件分析，填完表格以後，可明顯地看出，小強與甲、乙各賽一盤，未與丙、丁賽，共賽2盤。

答：小強賽了2盤。

*例3：

商店出售餅幹，現存10箱5千克重的，4箱2千克重的，8箱1千克重的，一位顧客要買9千克餅幹，為了便于攜帶要求不開箱。營業員有多少種發貨方式？（适于五年級程度）

解：作表3-3列舉發貨方式。

表3-3

答：不開箱有7種發貨方式。

*例4：

在甲、乙兩個倉庫存放大米，甲倉存90袋，乙倉存50袋，甲倉每次運出12袋，乙倉每次運出4袋。運出幾次後，兩倉庫剩下大米的袋數相等？（适于五年級程度）

解：根據題意列表3-5。

表3-5

從表3-5可以看出，原來甲乙兩倉庫所存大米相差40袋；

第一次運走後，兩倉剩下的大米相差78-46=32（袋）；

第二次運走後，兩倉剩下的大米相差66-42=24（袋）；

第三次運走後，兩倉剩下的大米相差54-38=16（袋）；

第四次運走後，兩倉剩下的大米相差42-34=8（袋）；

第五次運走後，兩倉剩下的大米袋數相等。

40-32=8

32-24=8

24-16=8

……

從這裡可以看出，每運走一次，兩倉庫剩下大米袋數的相差數就減少8袋。由此可以看出，兩倉庫原存大米袋數的差，除以每次運出的袋數差就得出運幾次後兩個倉庫剩下大米的袋數相等。

（90-50）÷（12-4）=5（次）

答：運出5次後兩個倉庫剩下大米的袋數相等。

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