第100回

蓬萊仙閣，觀音菩薩出難題

破譯密碼，師徒四人上天界

上回說到觀音菩薩建議以搶答方式進行喝酒得到大家的贊同，她指着眼前的餐桌說："我出的題都跟這餐桌有關，它事實上就是如圖1的兩個同心圓中，大圓的十二條弦把大圓二十四等分，且每條弦都與小圓相切。想必大家都清楚了吧？那好，第一題：請問這大圓上的每條弦所對的圓心角是多少度？"

"八戒，你是第一個敲響杯子的，你來回答。"

"是我嗎？"八戒有點懵了的感覺說，"讓我想一想……"

"大家注意了，每道題的回答時間限時三分鐘。"菩薩補充說，"大家要想好了再搶。"

"大圓的一條弦所對的劣弧是由7條相等的弧組成的，每條弧是大圓的二十四分之一，為15°，7×15°=105°，所以大圓的每條弦所對的圓心角為105°."

"恭喜八戒答對了，喝酒你随意，其他人各飲三杯。"菩薩說，"請聽第二題：已知大圓的弦長為2米，請問圓環的面積是多少平方米？"

"何仙姑，你來回答。"

"答案可以用近似值嗎？"何仙姑問道。

"不可以，用準确值回答。"菩薩再次補充說，"接下去的問題答案一律用準确值回答。"

"準确值是л平方米。"

"回答正确。"菩薩問，"你是如何算出來的？"

"這還不簡單嗎？"何仙姑說，"設大圓的弦AB切小圓于點C，圓心為O，連接OA、OC（如圖2），則AC=1米，OC⊥AB，由勾股定理，得：OA2-OC2=AC2=1。

又圓環的面積=大圓的面積-小圓的面積

=л·OA2-л·OC2=л(OA2-OC2)= л×1=л(平方米)。"

何仙姑的回答赢得了熱烈的掌聲，大家自覺地按規矩喝了該喝的酒。

"最後一題：轉盤(小圓)的半徑是多少？"菩薩問題提出後又馬上強調說，"答案不能用三角函數表示。"

"八戒，你知道答案了嗎？"片刻後，八戒正要敲響杯子被悟空及時制止。

"AC=1米，根據小圓的半徑OC與AC的比等于tan∠OAC不就可以得到OC=tan∠OAC嗎？"八戒說，

"而∠OAC=90°-∠AOC=90°-52.5°=37.5°，

所以小圓的半徑不就是tan37.5°的值嗎？"

"那你知道tan37.5°等于多少嗎？"悟空嗔怪道，"不知道瞎搶啥呢？"

又過了片刻還是無人搶答。

"唐玄奘，看來得你這個老蔣出馬了。"

"阿彌陀佛！"唐僧說，"讓貧僧試試吧：

37.5°角是75°角的一半，把37.5°擴大成75°，再根據經驗把75°分為30°和45°.

把圖2中的△OAC分離出來到如圖3，延長OC到D，使CD=CO，連接AD。則AD=AO，∠OAD=75°，∠ADO=∠O=52.5°。

接下來把75°的這個∠OAD分成30°和45°兩個角。

作∠ADE=45°，DE交AO于E，交AC于F。

作AG⊥DE于G。則∠AEG=60°，∠EAG=30°。

設OC=CD=x，AO=AD=y，則直角三角形邊角關系，得

AG=DG=y/√2，

EG=AG/√3=y/√6，

AE=2EG=2y/√6，

所以AE/AO=2y/√6:y=2/√6。

設CF=a，GF=b，則AF=1-a，DF=y/√2-b，EF=y/√6 b，

由△AGF∽△DCF，得

AG/DC=GF/CF=AF/DF，

所以y/√2:x=b/a=(1-a)/(y/√2-b)，

即y/(√2x) =b/a=(√2-√2a)/(y-√2b)，

設y/(√2x)=b/a=(√2-√2a)/(y-√2b)=k，則y=√2kx，b=ka，

代入(√2-√2a)/(y-√2b) =k，得

(√2-√a)/( √2kx-√2ka) =k，整理，得

√2(1-a)/[ √2k(x-a)] =k，即(1-a)/[k(x-a)] =k，

所以k2=(1-a)/(x-a)，

1004

過點E作EH⊥AC于H（如圖4）。則由△AEH∽△AOC，得

EH/OC=AE/AO，即EH/x=2/√6，EH=2x/√6.

由△AEF的面積等于1/2·AF·EH=1/2·EF·AG，得

AF·EH=EF·AG，

所以（1-a）·2x/√6=（y/√6 b）·y/√2，

所以（1-a）·2x/√6=（√2kx/√6 ka）·√2kx/√2，

整理，得2x（1-a）=（√2kx √6ka）·kx，

即2(1-a)=k2 (√2x √6a)，

所以2(1-a)=(1-a)/(x-a) (√2x √6a)，

兩邊除以（1-a），去分母，得

2（x-a）=√2x √6a，

整理，得：（2-√2）x=（√6 2）a，

所以x/a=(√6 2)/(2-√2)

=[(√6 2)(2 √2)]/[(2-√2)(2 √2)

=√6 √3 √2 2，

即CD/CF=√6 √3 √2 2，此乃∠CFD的正切值，又∠CFD=82.5°，

所以tan82.5°=√6 √3 √2 2，

由此可得tan7.5°=a/x

=(2-√2)/( √6 2)= √6-√3 √2-2。

1005

如圖5，作△ODE的底邊DE上的高OM。

在Rt△OME中，

∠OEM=60°，OE=OA-AE=y-2y/√6，

所以OM=OE·sin60°

=(y-2y/√6)·√3/2=√3/2y-y/√2,

由△ADE的面積 △ODE的面積=△OAD的面積，得

1/2·DE·AG 1/2·DE·OM=1/2·OD·AC，

即1/2·DE·（AG OM）=1/2·OD·AC，

所以DE·（AG OM）=OD·AC，

因為DE=DG GE=y/√2 y/√6，

AG=y/√2，OM=√3y/2y-y/√2，OD=2x，AC=1，

所以(y/√2 y/√6)·(y/√2 √3y/2-y/√2)=2x·1，

整理，得(y/√2 y/√6)·√3y/2=2x，

即√3y2/(2√2) y2/(2√2) =2x，(√3 1)y2=4√2x，

y2=4√2/(√3 1) x=2√2 (√3-1) x.

在Rt△OAC中，由勾股定理，得OA2=OC2 AC2，

即y2=x2 1，

所以x2 1=2√2 (√3-1) x，

即x2-2√2 (√3-1) x 1=0，

△=[2√2(√3-1)]2-4

=8(4-2√3)-4

=28-16√3

=4(7-4√3)

=4(2-√3)2，

所以x=[2√2(√3-1)±2(2-√3)]/2

=√2 (√3-1)±(2-√3)，

因為OC<AC，即x<1，

所以x=√2(√3-1)-(2-√3)

=√6-√2-2 √3

=√6 √3-√2-2.

所以轉盤（小圓）的半徑為(√6 √3-√2-2)米。

哎呀，累死貧僧了。"

"恭喜唐玄奘。"觀音菩薩說，"今天把你們師徒四人和八仙召集在一起，其實并非是為了喝酒……"

"那是為了何事？"師徒四人齊聲問道。

"自從你們師徒四人西天取經歸來已有數十載。"菩薩說，"數十年來，你們所做的每一件善事天界衆神們都看在眼裡。你們師徒智慧超群，心存善念，已通過了天界的考驗，今天受衆神仙之托，讓八仙作證，把你們師徒引渡到天界去。"

菩薩說完後拿出一把鑰匙說："這是打開通往天界大門的鑰匙，密碼是——"

"密碼是多少啊？你快點說。"

"上天交代說了，密碼是多少你們得自己破解。"菩薩說，"念在與你們多年交情的份上，我給你們透露個天機：密碼是個六位數，它是某個三位數的平方，巧的是它的末三位數又恰好是這個三位數。記住了，密碼你們最多隻能輸入三次，如果連續兩次輸錯了，你們就永遠上不了天界當神仙了。"

菩薩剛說完，連同八仙便化作一團白煙消失了。

"怎麼辦呢師父？"

"大家别急，都開動腦筋想一想：哪個三位數的平方，其末三位數又恰好是這個三位數呢？"

"要是一位數的平方，其末位數恰好是這個數那就簡單了。"沙僧說，"這樣的數無非是0或1或5或6."

"是啊，要是兩位數的平方，其末兩位數恰好是這個兩位數的也好辦。"八戒說，"這樣的兩位數我知道有一個25，因為25的平方=625，其末兩位數恰好也是25。"

"還有一個76呢。"悟空說。

"76的平方=5776，其末兩位數也恰好是76啊！"八戒驚奇地問，"猴哥，你是怎麼發現這個76的呢？"

"因為兩位數的平方，其末兩位數恰好要等于這個兩位數，首先必須确保末位數是0或1或5或6。"悟空說，"對于末位數是0或1的兩位數，經驗算從10、11到90、91這18個數的平方，其末兩位數都不是10、11、20、21、…90、91.

而個位數為5的兩位數，從15、25到95這9個數，分别經過計算知道隻有25的平方等于625，其末兩位數仍然是25；

對于末位數是6的兩位數，從16、26到96這9個數，經計算知道隻有76的平方等于5776，其末兩位數仍然是76。"

"對于三位數的平方，其末三位數仍然是這個三位數的數，首先是不是也必須确保它的末兩位數是25或36呢？"八戒說，"要是這樣的話就簡單了。"

"是啊，二師兄，要是那樣的話隻需要分别對末兩位數是25和36的三位數分别求平方驗證就可以了。"沙僧說，"對于末兩位數是25的三位數，從125、225到925這9個數，經計算知道隻有625的平方等于390625，其末三位數仍然是625。；

對于末兩位數是76的三位數，從176、276到976這9個數，經計算知道隻有376的平方等于141376，其末三位數仍然是376。"

"對于三位數的平方，其末三位數仍然是這個三位數的情形，我可以肯定是末位數必須是5或6."悟空說，"但末兩位數是否一定是25或76我就不敢肯定了。還是讓師父說說吧。"

"為師也不敢确定。"師父說，"你們的猜測要是正确的話，那我們打開通往天界的密碼不是390625就是141376了。但要是存在着其他的數，那我們就有可能前功盡棄了。為了慎重起見，我們還是認真探索一下吧。"

"怎麼探索呢？"

"首先，設所求的三位數為100x 10y z，則依題意，得

(100x 10y z)2=1000a (100x 10y z)(a為正整數，且10≤a≤998)

所以(100x 10y z)2-(100x 10y z)=1000a，

左邊因式分解，得：(100x 10y z)(100x 10y z-1)=1000a，

因為右邊1000a的末位數是0，

所以（100x 10y z-1）與（100x 10y z）乘積的末位數是0，

又（100x 10y z-1）與（100x 10y z）的個位數分别是z-1和z，它們是連續整數，

所以z-1和z隻能是0和1，或4和5，或5和6，

所以z隻能是1或5或6．"師父說，"下面分别對z的取值進行讨論：

如果z=1，則（100x 10y 1）（100x 10y）=1000a，

整理，得：(100x 10y)2 (100x 10y)=1000a，

即100(10x y)2 10(10x y)=1000a，

兩邊除以10，得10(10x y)2 (10x y)=100a，

整理，得（10x y）[10(10x y) 1]=100a，

因為右邊100a的末兩位數為0，而10(10x y) 1的個位數是1，

所以10x y的個位數為0，

所以y=0，所以10x-(100x 1)=100a，

所以x(100x 1)=10a，

因為右邊10a的末位數為0，而100x 1的末位數是1，

所以x=10，與x<10矛盾；

如果z=5，則(100x 10y 4)(100x 10y 5)=1000a，

整理，得：(100x 10y)2 9(100x 10y)=1000a-20，

再整理，得：100(10x y)2 90(10x y)=1000a-20，

所以10(10x y)2 9(10x y)=100a-2

因式分解，得：(10x y)[10(10x y) 9]=100a-2，

因為[10(10x y) 9]的個位數為9，100a-2的個位數為8，

所以(10x y)的個位數隻能是2，所以y=2，

所以(10x 2)(100x 29)=100a-2，

整理，得1000x2 490x=100a-60，即100x2 49x=10a-6，

所以x(100x 49)=10a-6，

因為(100x 49)的個位數是9，10a-6的個位數是4，所以x隻能是6，

故所求的三位數是625；

如果z=6，則(100x 10y 5)(100x 10y 6)=1000a，

整理，得(100x y)2 11(100x 10y)=1000a-30，

再整理，得10(10x y)2 11(10x y)=100a-3，

即(10x y)[10(10x y 1) 1]=100a-3，

因為[10(10x y 1) 1]的個位數為1，100a-3的個位數為7，

所以(10x y)的個位數隻能是7，所以y=7，

所以(10x 7)(100x 81)=100a-3，

整理，得1000x2 1510x=100a-570，

即100x2 151x=10a-57=10(a-5)-7，

所以x(100x 151)=10(a-5)-7，

因為(100x 151)的個位數是1，10(a-5)-7的個位數是3，所以x隻能是3，

故所求的三位數是376．

綜上，所有滿足條件的三位數隻有625和376兩個．"

師徒四人終于獲得通往天界的密碼，打開了上天的大門，從此消失在浩瀚的宇宙之中。

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