本文标題所說的大學數學主要是指在18、19世紀和20世紀初發展起來的近代數學。近代數學的發展成果基本上濃縮在了目前在大學數學系所開設的十一門基礎性的數學課程中，這些課程是：數學分析、高等代數（或線性代數）、常微分方程、複變函數論、微分幾何、偏微分方程、概率論、實變函數論、抽象代數、拓撲學、泛函分析。

所有這些課程的主要經典内容都經過了近百年來的反複提煉與改進，已經逐漸成型，各門課程所使用的教材也越寫越成熟。不過，有一個長久以來存在的問題是：大學數學的教學過程基本上還都是按照嚴格的學科體系和邏輯推理來進行實施的，對大多數學生來說，許多内容顯得比較抽象和難懂，特别是常規的大學數學的“定義-定理-證明-推論-例題”五步曲格式容易使學生感到困惑，不明白這些複雜的概念和理論的真正含義是什麼，它們到底要解決什麼問題？

和别的自然科學與社會科學學科完全不同，大學數學的主要研究對象是抽象的模式和理論，而不是自然界的物質和人類社會中的現象，因此讓沒有多少學習閱曆的數學專業的學生來正确地理解和把握近代數學的本質是比較困難的。數學家J. L. Casti 曾說：“在數學中，要講述真理是極其困難的，數學理論的形式化的陳述并沒有講清全部的真理。”在已經成熟的數學理論中很少看到理論形成的過程，“我們的數學家習慣于系統地擦去我們走過的足迹。科學家們總是不理解地看待數學家的這種怪異的習慣，而這種習慣自畢達哥拉斯以來直至今天幾乎沒有改變。”

數學家H. Bass這樣分析了這其中的原因：

★

“數學有一個本性的趨向——利用抽象和一般化——由此而将廣泛領域中的素材加以綜合與提煉，形成簡單而又統一的概念與方法，去處理各種各樣複雜的情況。這個過程有時被稱為‘壓縮’，有意思的是，這種很有效的知識形成過程卻對進行教學的數學家來說是一個障礙，他在這時必須擔當起‘解開壓縮’的角色，這樣才能讓那些自主研究學習能力不強的學生來逐漸理解數學。”

”

Bass所說的“解開壓縮”的教學方法實際上就是按照數學原來的發展順序，将數學思想逐步演進的曆史過程與數學嚴格的邏輯推理過程有機地結合起來，補上在數學的發展過程中被舍棄的中間過程（即适當地重新呈獻早先的數學家曾經“走過的足迹”），使學生能夠了解現代精練抽象的數學理論是怎麼來的，從而能夠理解大學數學概念與定理背後的真正内涵。這種被稱為“曆史途徑法” 的教學方法不是簡單地在傳統的隻講邏輯推理的課程體系中堆砌一些數學史料和數學家的生平故事來調節數學的枯燥叙述，而是盡量在曆史的框架中來講授數學課程的内容，從而更容易抓住大學數學的本質思想和内容。數學教育的研究已經證實：數學曆史的發展過程與學習者個人認識理解數學的心理程序有極明顯的相似之處，因此曆史途徑法對于大學數學的教學有極大的幫助作用。

為大多數學生考慮，曆史途徑法一般不是從現代的十分精練的數學定義出發，來展開各種定理和公式及其證明的教學，而是用曆史上曾經出現過的原始數學問題來引入教學的主題，采用具體簡單的素材作鋪墊，從中逐步引導出抽象的數學概念與命題，并且運用前人具有啟發性的有趣樸素想法來解決一些相對簡單的問題，這樣可以揭示出抽象的數學概念與方法的實際内涵，從而使初學者不至于在過多的嚴格複雜的邏輯推理中迷失方向。由于我們已經了解了數學後來的發展過程，所以可以選取對以後的發展來說是至關重要的思想和方法，也就是用曆史發展線索在大量複雜的數學知識體系中找出基本的概念與方法，并且将具體的曆史演進過程與學科嚴密的邏輯推理體系巧妙地結合起來，由淺入深地合理編排有關教學内容。

從國外已經出版的許多用曆史途徑法來寫的大學數學教材與參考科普讀物的反映看，曆史途徑法非常有利于學生學習抽象的大學數學，它可以揭開大學數學的神秘面紗，降低學習的難度，從而使學生産生繼續學習和研究現代數學的興趣（例如可以參閱筆者的微信文章“數學文化在日本”）。

由前蘇聯一批傑出的數學家在上世紀50年代編寫的《數學：它的内容、方法和意義》（以下簡稱《數學》）是一部幫助數學系的大學生學習數學的綜合普及類讀物，其三卷的中譯本的總篇幅達到了一千多頁。它不同于一般的大學數學教材的地方是：盡量運用曆史途徑法和通俗淺顯的語言，來深入淺出地解釋各門大學數學課程中一些最基本概念和理論的含義，而不是面面俱到，并且适當地降低數學理論表達上的嚴格性和一般性。《數學》總共包含有二十章，涵蓋了上面所說的數學系開設的十一門課程中最基本的初步内容。

圖1 《數學：它的内容、方法和意義（第一、二、三卷）》

雖然《數學》不是一本嚴格意義上的教科書，但是它在介紹大學數學的主要課程内容時，按照數學曆史發展的主要線索，力求通俗地介紹大學數學各主要課程所要解決的問題和一些有代表性的概念和理論。為此《數學》盡量減少使用高深的專業術語，并且選取對解決課程的教學難點有幫助的曆史素材和至關重要的思想方法，努力還原被擦去的“走過的足迹”。由于《數學》充分地利用了曆史途徑法來深入淺出地解釋大學數學各門課程中一些最基本概念和理論的内涵，所以它對目前有比較嚴密的理論體系的各門大學數學課程和教科書來說，是一個極好的補充。筆者特别建議數學系的同學們在學習各門大學數學課程前，先用心地讀一遍《數學》中的相關章節。

圖2 《數學：它的内容、方法和意義》第二、三卷各章的内容

下面主要就針對大學數學系的十一門課程，分别對《數學》所介紹的内容、以及它們與這些數學課程的曆史發展之間的緊密聯系作一些簡要的分析與說明。

一、數學分析

目前國内數學分析課程的内容一般由極限論、一元微積分、級數論和多元微積分這四大部分所組成，其中一元微積分對應了通常國外所說的“初等微積分”課程，而極限論、級數論和多元微積分這三部分則對應了國外所說的“高等微積分”課程。

極限理論的主要内容有：數列的極限、函數的極限、連續函數、關于實數的基本定理、以及閉區間上連續函數的性質。之所以要在講微積分前系統地講清楚極限的理論，主要是想為整個數學分析課程打好一個堅實的數學理論推理的基礎。但是這個教學體系的主要缺點是：當學生對微積分還沒有一個初步的了解時，就直接讓學生學習嚴格的極限理論，容易造成一定的學習困難。

在曆史上，在微積分理論發展了将近兩百年後，才慢慢出現了嚴格的極限理論。極限理論的主要目的是為了解決求微分或導數、求積分、以及判别級數的收斂性時出現的各種困難問題。例如，是不是連續函數都可微？是不是可微函數都連續？若一個函數在每一點可微，那麼它的導函數是否連續？反過來，連續函數可微嗎？曆史上還曾經出現過令人震驚的連續但不可微函數的例子。為此必須仔細地考察導數的定義及其基本性質，以及研究函數的連續性，而不是僅僅依賴連續的直觀形象。在此之前就必然要引入函數極限的嚴格定義，從而自然導緻出現了函數極限的﹣定義。這個定義把注意力集中在如何精确地表達“要多小就有多小”的問題上，從而可以徹底解決所有有關收斂性的困惑。這些令人困惑的收斂性問題還包括了“連續函數的一個收斂級數的和是否一定連續”的經典問題，它的徹底解決依靠了一個從ε-δ 定義發展出來的一緻收斂定義。

很明顯，隻有對初等微積分已經有了初步的了解，才能比較好地理解嚴格的極限理論。在《數學》的第二章“數學分析”中，作者詳細介紹了初等微積分理論中各個主要内容，它們包括數列與函數的直觀極限定義、一元連續函數與導數、一元函數的極值與圖形、泰勒公式、定積分與不定積分、多元函數與偏導數、重積分、線積分與面積分、級數論等基本内容。《數學》的作者從曆史發展的角度出發，能夠深入淺出地解釋微積分基礎理論中最基本的思想。例如在“極限”這一節中，作者雖然沒有明确地使用精确的﹣定義來證明有關數列的極限，但是卻用了具體的數值例子來說明這個極限定義的内在含義。

又如在講牛頓-萊布尼茨公式時，該書盡管沒有證明這個基本公式，卻用非常簡單的物理學推理來說明這個公式的合理性與正确性。還有在“級數”這一節中，作者不僅介紹了數項級數收斂和絕對收斂的概念，而且還讨論了函數項級數的一緻收斂的基本概念（該書将一緻收斂譯成了“均勻收斂”）。這使我們看到，不借助于嚴格的ε-δ 語言，同樣可以展開關于具有一緻收斂性的函數項級數性質的讨論。特别是在“級數”這一節的後半部分，作者仔細解釋了幂級數理論的基本思想，其方法是先舉例說明幂級數是有收斂區間的，然後在一個特定區間上具體地考察函數1/(1-x) 與它的幂級數展開式到底相差多少（即用了前8項就可以達到0.01的精确度），從而讓學生體會幂級數收斂的含義（見圖3）。

圖3 《數學》用具體例子說明幂級數收斂的含義

接下來為了說明幂級數的用處，作者先用幂級數的方法來解一個最簡單的微分方程y'=y，這個方程的級數解當然就是指數函數e^x，然後說明用幂級數來解一般的微分方程，所得到的解并不一定就是學生們熟悉的初等函數，作者舉了貝塞爾函數的例子（它是貝塞爾微分方程的解），從而很好地解釋了函數項級數的一個主要用途是求解微分方程，以及它對于産生更多的新函數所起的關鍵作用。

二、高等代數（或線性代數）數學家丘成桐先生曾經說過：

“要學好微積分和線性代數，歸根結底一切高級的數學都是微積分和線性代數的各種變化。”（轉引自林群先生的微信文章“怎樣學好數學”）

丘先生的這句話很好地說明了線性代數這門課程在大學數學課程體系中的基礎地位。

在大學數學中，“線性”兩字的含義是指一次關系式。由于“以直代曲”是人們處理很多數學問題的常用思路，所以經常将複雜的數學問題歸結為比較簡單的線性問題，這樣，線性代數的理論與方法就滲透到現代數學的許多分支學科。

線性代數的内容大緻可以分為兩大部分：第一部分包括了矩陣論、行列式、線性方程組等内容，第二部分則主要包括了線性空間、線性變換、歐氏空間等内容。線性代數教學的一個主要誤區是人們往往隻注重演繹證明，而不太重視介紹線性代數的思想來源和豐富的應用，特别是忽視對低維（或低階）情形的讨論。

在線性代數的曆史發展進程中，二次型及其矩陣的特征值起到了突出的作用，這是因為它直接引導出後續的“對角化”這一線性代數的中心主題。早在18世紀之前，數學家們就已經解決了二次曲線的化簡問題，也就是通過旋轉坐标軸，可以将二次曲線方程中的二次型化成隻有平方項的标準形，再經過坐标軸的平移，就得到了二次曲線的标準方程。在18世紀，歐拉和拉格朗日在研究化簡二次曲面的方程時，得到了3個變量二次型的主軸定理，而到了19世紀初期，數學家柯西進一步證明了 個變量二次型的主軸定理。主軸定理用矩陣的語言來說就是：實對稱矩陣一定和一個對角矩陣相似，并且這個對角矩陣的所有對角元素都是該實對稱矩陣的特征值。

這個一般二次型化簡問題的徹底解決逐漸引發了後續關于矩陣對角化問題的一系列研究。今天的矩陣特征值概念是數學家凱萊在19世紀中期創建矩陣論的過程中正式提出的，而線性變換的特征值的概念則一直要等到20世紀初，人們在研究積分方程的求解問題以及相關的泛函分析問題時，才逐漸産生線性變換的特征值的概念，這個概念是矩陣特征值概念的深刻推廣。例如在積分方程的研究中，需要計算如下線性變換

的特征值，其所對應的特征向量可以用來構造相關的積分方程的解，這裡的是函數空間上的一個線性變換。此時出于研究函數空間的需要，數學家們以高維歐氏空間 以及其上的線性變換為藍本，提出了一般的線性空間和線性變換的理論，并且把空間中的主軸定理推廣到了一般的歐氏空間（也稱為“内積空間”）。

《數學》第三卷的第十六章詳細介紹了線性代數這門課程的基本思想。在今天看來，非常基本的線性代數課程要放在第三卷才介紹，是有些奇怪的。這說明在寫作《數學》的上世紀50年代，蘇聯的大學數學系學生要在大學的高年級才開始學習線性代數這門課程。而上世紀的50年代正是由近代數學轉換到現代數學的年代，現代數學區别于近代數學的一個重要标志是：現代數學主要研究高維空間（或高維流形），而近代數學則主要研究三維空間。線性代數這門課程的性質就決定了它是研究高維幾何空間的必備工具。

在線性代數這一章的第一節，作者介紹了矩陣運算的基本性質，特别是用連續進行兩次線性替換的例子來引入矩陣的乘法運算。第二節是講線性空間和歐氏空間的定義，以及它們的基本幾何性質，作者特别注重對于線性相關和線性無關理論的闡述，這是線性空間理論的核心部分。作者将一組向量線性相關定義為其中的一個向量是其餘向量的線性組合（這比較容易理解），并且從幾何的角度将k個向量線性相關歸納為它們落在一個維數小于的一個子空間中。第三節介紹線性方程組和行列式的計算，以及它們的主要性質。作者在這裡将行列式與線性方程組結合起來講，就能夠講清楚行列式理論的來龍去脈。對于線性方程組的一般理論，也是從直觀的幾何角度來解釋解空間的幾何構造。第四節講解了線性變換理論的基本思想，其中包括了矩陣對角化的一般結果——若爾當标準形。

作者在第五節重點講了二次型的經典理論。首先是詳細解釋了一個二元函數的極值問題是怎樣歸結為一個二次型問題的，然後和我們通常的教材一樣，講如何用配方法來化簡一般的二次型，以及二次型的慣性定律。接下來，作者用了一個比較初等的推理過程，詳細證明了一般二次型的主軸定理，即可以運用正交線性替換來化簡二次型，其中顯示了特征值與特征向量的基本作用。在這裡，作者大緻就是按照曆史發展的途徑來講的（用二次型的化簡問題來引出和聯系線性代數中主要的學習内容，也成為了筆者在2019年新編寫的教材《高等代數與解析幾何》（上、下冊）中的指導思想）。作者在第六節還進一步介紹了在應用中特别有用的矩陣函數，特别是矩陣的指數函數在解線性常微分方程組中的應用。

三、常微分方程

常微分方程是含有自變量、未知函數及它的導數的等式。常微分方程這門課程的主要内容有：一階常微分方程的初等解法、一階常微分方程的解的存在定理、高階常微分方程、線性微分方程組、非線性微分方程組和穩定性。這門課程需要用到數學分析和線性代數中的一些基本知識。

在曆史上，很多涉及運動與演化的物理問題和技術問題的研究都可以化歸為常微分方程的求解問題，這是因為反映自然規律的量與量之間函數關系往往不能直接寫出來，而此時卻比較容易建立這些變量與它們的導數之間的關系式。一般來說，絕大多數的微分方程都是比較難求解的，因此對于學生來說，重要的是：通過這門課程的學習，來掌握處理微分方程問題最基本的思想方法，而不是着眼于求解具體某一類的微分方程。

《數學》的第二卷第五章專門講常微分方程。這一章的目的是使學生對這門課程先有一個整體的了解，并力求說明常微分方程理論所要解決的主要問題是什麼。作者以一個簡單的齊次線性常系數微分方程

為例，非常仔細地說明了如何将這個微分方程轉化為一個一元二次方程，從而可以求出它的精确解，并且對所求出的通解，還要考察其唯一性和穩定性，以及從物理學（振動）的角度，來看它與相關的非齊次微分方程解的聯系。接下來，作者進一步介紹了一般常微分方程的解的存在性和唯一性定理，特别是在求不出精确解的情況下，經常需要運用經典的歐拉折線法和逐次逼近法來求出常微分方程的近似解。

此外，《數學》的作者還用了相當多的篇幅，重點介紹了常微分方程的奇點概念和定性理論的基本思想，這個定性理論在常微分方程的一般理論中占有重要的地位。

四、複變函數論

微積分理論所處理的函數主要是實函數，當我們将微分與積分的理論平行推廣到複函數時，就形成了一門嶄新的理論——複變函數論，這個新理論與原來的微積分相比，内容不僅更加豐富多彩，而且理論上也更加完美。複變函數論這門課程的内容主要有：解析函數、複積分、複級數、留數、解析開拓、調和函數。

複變函數論曾經被數學史家M.克萊因(M.Kline)稱為是19世紀最獨特的創造，“這一最豐饒的數學分支，曾被稱為這個世紀的數學享受，它也曾被歡呼為抽象科學中最和諧的理論之一。”在19世紀初，柯西在研究計算二重積分的累次積分方法時，無意中發現了複變函數論中著名的柯西積分定理——全純(解析)函數在單連通區域邊界上的複積分為零，由此進一步得到了關于複積分和留數計算等一系列基本結果。

《數學》的第二卷第九章專門介紹了複變函數論這門課程的基本想法。作者在這一章的第1節指出，複數的重要意義首先體現在代數學基本定理中，這個定理說：任何n次複系數代數方程必有n個根，而這個結論對實系數方程就不成立。這說明隻有在複數域中考慮問題，才能得到清晰完美的結果。

然後作者進一步從複變函數的角度解釋了在數學分析課中講的：實函數1/(1 x^2)的幂級數展開式的收斂區間為什麼是(-1,1)，，這是因為當我們把這個幂級數放到複數域上來考慮時，就發現這個複幂級數的收斂半徑等于1，即使得該級數收斂的點都位于以原點為心、半徑為1的圓内。而導緻這個事實的原因竟然是這個圓的圓周上有兩個點 i和-i ，複函數1/(1 x^2)在這兩點變為無窮（見圖4），

圖4

這就從本質上解釋清楚了為什麼原來的實幂級數展開式的收斂區間為什麼是(-1,1)。

接下來作者還用複變函數的幂級數展開式推導出了非常有名的歐拉公式。

作者所舉的以上這些很好的例子能夠使學生初步認識到：複變函數并不是一種虛無缥缈的東西，而是有着實際意義的真實概念。

《數學》的作者在第九章的第2節，介紹了複變函數論在流體力學和飛機機翼設計中的精彩應用，在第3節介紹了很重要的複變函數與幾何共形映射之間的密切聯系。作者在第4節中，帶領讀者進入了複變函數理論的核心部分——複積分與柯西積分公式。雖然複積分是數學分析中線積分定義的簡單推廣，然而它卻成為了證明解析函數良好性質的主要工具。盡管作者沒有在該書中詳細地證明最基本的柯西積分定理，但還是非常仔細地推導了在複變函數論中反複使用的柯西積分公式，這個推導過程充分顯示了複積分的基本性質。最後，作者在第5節進一步介紹了解析開拓和黎曼面的基本概念。

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