從小學的自然數到初中的有理數進行了第一次數的擴充。數的擴充是生活的需要,為了記錄相反意義的量,引入了負數。負數的引入使生活中實際問題的解決大為便利。
北師大版數學七年級上冊第23頁的引例和24頁的例題等,都說明了引入負數使得實際問題的解決大為簡便。這樣就将自然數擴充到了有理數。同學們可以閱讀一下北師大版七年級上冊25頁的《負數小史》(因為我們這裡都用北師大版的數學教材,所以我在此都以北師大版教材為例)。
在學習了有理數之後,同學們要注意有兩個角度描述有理數:一個是從整數和分數的角度,另外一個是從正數、零和負數的角度,描述有理數。實質是一樣的,隻是描述的角度不同而已。
數學家們為了更形象的研究和描述有理數,引入了數軸。數軸是進一步研究數學的基礎,數軸可以說是從一維的角度研究數。而以後要從二維角度研究平面問題,就有了平面直角坐标系,它也是我們研究函數的基礎。如果有同學到大學裡學習空間解析幾何,就是在三維空間裡研究的,是由三個互相垂直的數軸,建立了空間直角坐标系。而這些的基礎都是數軸,由此可見數軸的重要性。
引入數軸後,我們又學習了一個重要的概念:絕對值。大家一定要對絕對值引起重視,因為它是我們學習有理數運算法則的關鍵。絕對值的引入是為了在有理數範圍内進行計算,引出運算法則。可以說每一個知識點,都是為了後續的知識做鋪墊,但每一個知識點本身的也有實際意義。
有了絕對值的概念,我們就可以定義有理數的加、減、乘、除、乘方等運算法則。我們在這裡回憶一下這些法則,看看新舊知識之間的聯系,以及什麼是聯系它們的紐帶。
有理數加法法則:同号兩數相加取相同的符号,并把絕對值相加;異号兩數相加,絕對值相等時和為0;絕對值不等時取絕對值較大的數的符号,并用較大的絕對值減去較小的絕對值;一個數同零相加仍得這個數。我們看到,加法法則與小學學過的加法相比,隻多了一步:判斷符号。先根據絕對值判斷和的符号,然後再進行絕對值的計算。而絕對值(非負數)計算,就是小學知識了。
有理數的減法法則:減去一個數,等于加上這個數的相反數。在這裡,我們首先要知道什麼是相反數:如果兩個數隻有符号不同,那麼稱其中一個數為另外一個數的相反數,也稱這兩個數互為相反數。特别的,0的相反數是0。
而絕對值的概念:在數軸上一個數所對應的點,與原點的距離叫做這個數的絕對值。例如, 2的絕對值等于2,—3的絕對值等于3。我們還知道:正數的絕對值是它本身,負數的絕對值是它的相反數,0的絕對值是0。這裡面還有兩個負數比較大小,絕對值大的反而小。
有理數的乘法法則:兩數相乘,同号得正,異号得負,并把絕對值相乘;任何數與零相乘,積仍為0。
有理數的除法法則:兩個有理數相除,同号得正,異号得負,并把絕對值相除;零除以任何非零數都得0。注意,零不能做除數。
有理數的混合運算法則:先算乘方,再算乘除,最後算加減,如果有括号,先算括号裡面的。
可見,判斷符号和絕對值運算是有理數運算的關鍵,有了絕對值的概念,新的知識就轉化為舊知識了。所以有理數的運算問題,比起自然數運算,隻多了一個判斷符号,然後根據運算法則,根據每個參與運算的因數的絕對值的大小或者因數的正負,判斷出運算符号,然後就轉化為小學的正數和0的運算。所以小升初的同學,隻要弄明白自然數運算,弄明白絕對值的概念,理解并記住運算法則,那麼所有的新知識就轉化為舊知識。
每一個有理數都能在數軸上找到一個點和它對應,但反過來,數軸上的每一個點,卻不一定對應的是有理數。比如,邊長為1的正方形,它的對角線長就是根号2,而這個根号2,就不是有理數。因為根号2是無限不循環小數。
我們可以在數軸上找到根号2對應的這個點。這就說明數軸上的點,并不是和有理數有一一對應的關系,也就是說數軸上的點,有的數不是有理數,像根号2,根号3,根号5等等,那麼這些數我們把它稱為無理數。無理數的概念是怎樣定義的呢?無限不循環小數稱為無理數。像我們以前學的,圓周率就是一個無理數。
我們把數從有理數又擴充到無理數,那麼有理數和無理數,統稱為實數。初中階段就學習兩類數:有理數和實數(有理數集是實數集的子集)。這樣數軸上的點,就和實數有了一一對應的關系。數的發展遠遠不止于此,以後同學們如果到了高中,還會學到複數。
在初中階段數的運算重點還是熟練進行有理數的運算以及應用,(二次根式内容下次講)絕對值在這裡起了一個關鍵的作用。我們如果理解了絕對值,會利用運算法則進行運算,那麼我們現在學習有理數的所有運算就轉化為通過運算法則,先判斷符号,然後轉變成絕對值的運算。而絕對值就是正數和0,這樣,有理數的運算,就轉化為正數和零的運算,隻是多了一步判斷符号。
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