數學家華羅庚曾經說過，數缺形時少直覺，形少數時難入微，這句話深刻地揭示了數形之間的辯證關系以及實用結合的重要性。

數形結合思想，就是通過數和形之間的對應關系和相互轉化來解決問題的思想方法。

它包括兩方面，一種是用代數方法解決幾何問題。

優勢是可以用計算代替證明，從而極大的減小工作量。

比如中學所學習的解析幾何，通過建立平面直角坐标系将點與有序實數對（a,b）之間建立起對應關系，進而将幾何圖形用方程表示，這就是将幾何問題代數化。

一種是用幾何直觀幫助解決代數問題。

比如我們在中學學習函數知識、解決函數問題的時候，往往要結合函數的圖像來輔助理解，這就是用幾何直觀來幫助解決代數問題。

不僅如此，比如在概率統計中，也會涉及到大量的圖表，未嘗不是數形結合的另類應用。

可以說，數形結合思想是中學數學學習中非常重要的一種思想方法，在高中數學大量題目的解決都需要利用數形結合思想。

數學思想并不僅僅存在于中學，數形結合思想在小學數學的學習中都有非常普遍和廣泛的應用。

一是利用圖形的直觀幫助學生理解和掌握知識、解決問題，比如線段圖；

二是數軸及平面直角坐标系在小學的滲透，如數軸、位置、正反比例關系圖等，使學生體會代數與幾何之間的聯系；

三是統計圖本身和幾何概念模型都是數形結合思想的體現；

四是用代數方法解決幾何問題如角度、周長、面積和體積的計算。

在此我們可以舉幾個實例。

（本文中部分圖片來自于之前文章，那時候使用的還是人教版小學數學教材老版本，所以問題插圖還沒換掉，因為時間緊張來不及，難免有些仍是老版插圖，特此說明，抱歉）

比如在人教版小學數學教材二年級上冊第二節的100以内加法中，使用算籌來展示加法規則，更加直觀。

再比如在人教版小學數學教材三年級上冊第5單元倍的認識中，出現了線段圖。

線段圖是小學數學中數形結合思想的一個重要體現，

線段圖能夠直觀的體現出數量關系，所以是典型的以形助數。

這裡不但要能夠将數量關系用線段圖表示，也要能夠根據線段圖辨識數量關系。

本冊中第七單元長方形和正方形，開始接觸周長，也就是開始用數量來描述幾何圖形特征。

這就是所謂的以數解形。

這一冊數形結合的核心體現，主要是在最後兩個單元——分數的初步認識和集合。

分數相對于孩子們之前學習的自然數，比較抽象，教材中通過使用大量的幾何圖形——餅狀圖、線段圖等直觀手段，以形助數，解決了學生們的理解分數概念、比較分數大小、分數加減法計算等問題。

之後的分數問題，比如通分，比如比較分母不一樣的分數大小，也可以用類似的方法。

在小學五年級上冊數學教材中，引入了坐标的初步思想。

直接将點和有序實數對對應起來。

這是典型的，也是最基本的幾何圖形代數化。

雖然孩子年齡的逐步增長，小學高年級數學教材中的數形結合思想體現的也越來越明顯，涉及到的内容也越來越深入。

比如六年級上冊第八單元數學廣角——數與形，算是專門為數形結合所設，可見在數學教材編寫者心目中數形結合思想的重要性。

比如通過圖形解決一些數列求和問題。

下面這道題不光是數形結合，還涉及到了極限，通過數形結合的展示也能很好的理解。

甚至有些習題已經涉及到了函數圖像。

再比如利用數形結合進行完全平方的推導。

這些内容不能單單的講講看看就作罷，而是應該作為一種思想方式重點講解，幫助孩子體會數形結合的重要性。

在六年級下冊第四單元比例中，用圖像來描述比例關系，再引導學生利用圖像解題，這是典型的數形結合，也是初高中常用的方法。

類似的題目在本單元的你知道嗎裡也有所體現，出現了反比例函數的圖像，引導學生體會反比例圖像可以用來表達數量關系，也可以用來解題。

到此我們會發現，小學數學課本雖然被很多人所诟病，但的确将一些我們常用的數學思想融入了教材之中，編寫者還是有些巧思在其中的。

小學都這樣了，那麼初中又是如何呢？

我們仍然以人教版初中數學教材為例。

在七年級第一冊伊始，就出現了數軸。

可以說數軸是數形結合的好工具，平面直角坐标系也無非是兩個數軸。

在此數軸的作用主要是将代數問題幾何化，也就還屬于以形助數的範疇。

之後在學習絕對值的時候，也是從絕對值的幾何含義入手。

但是在這一部分相關的題目中，除了與課本思路一緻的題目。

還有一些題目呈現出典型的幾何問題代數化的傾向，比如在新思維中，有這種題型。

其實就是典型的把一個行程問題轉化為數軸上的問題，進而轉化成代數計算問題。

在七年級下冊，有一章專門貫穿數形結合思想的内容——平面直角坐标系，典型的代數方法研究幾何問題。

比如将點的平移用坐标變化來表示。

從内容上講，其實并不深入，隻不過是小學五年級數學課本内容的引申。

一旦結合到習題，則難度就不一樣了。

不過其基本思路還是幾何問題代數化，點的運動轉化為坐标的變化。

整體上看，七年級上下冊、八年級上冊中數形結合的内容體現的很少，要麼是純代數内容，要麼是純平面幾何内容。

一直到八年級下冊一次函數，數形結合思想才算是登堂入室，大放異彩，可以說數形結合是中學階段研究函數問題的最大法寶。

在函數的概念一節，就引入了函數圖像。

在此我們要理清楚一個概念：函數圖像其實就是函數表示方法的一種，其地位和解析式是一樣的，正因為如此，函數圖像的特征與解析式的特征存在着對應的關系。

這是函數中運用數形結合思想的理論基礎——我們可以通過将函數解析式對應的圖像畫出來，通過觀察、研究圖像的特征，進而得到函數的性質，也可以将抽象的函數問題轉化為具體的圖像，輔助尋找思路、解決問題。

比如下圖中，将一次函數的圖像繪制出之後，會發現圖像是從左向右上升的，而因為圖像是由無數點構成，點的坐标對應着x與y，所以圖像的上升特征一定對應着x與y中的某種關系——随着x的增大，y在增大。

這在高中函數中其實叫單調性，是函數的重要性質，不僅僅是單調性，高中函數的衆多性質都可以結合圖像來理解。

可以很明确的說，初中函數教材的編寫者非常強調數形結合。

幾乎是道題目就要畫圖像。

這麼說吧，起碼人教版初中數學教材中的函數部分内容和高中函數在思路上沒有什麼差别。

這讓我很疑惑，為什麼到了高中很多孩子依然沒有主動使用數形結合解決問題的意識，看到問題不知道從圖像入手？

這到底是為什麼？

仔細琢磨了半天，會不會是因為初中數學問題裡，雖然函數在數學試卷中雖然經常出現，也都帶有圖像，而且比較偏幾何。

這些問題，其實對于函數本身的考察并不多，更多的是以函數圖像為背景，把幾何圖形放在函數圖像上，本質還是幾何問題，類似于解析幾何。

感覺初中數學中純粹考察函數本身的問題不夠多。

所以學生并沒有意識到，即使是不那麼幾何的函數問題，也可以用圖像來輔助解題？

這隻是我的猜想吧，那高中數學中利用數形結合解決函數問題到底是個什麼樣呢？

我們來看看高中數學吧。

數形結合在高中數學中的第一次出場就是集合關系中使用了韋恩圖。

其實利用數軸表示集合運算也是一種數形結合的體現。

在不等式的證明中，使用了幾何方法——弦圖，在基本不等式的證明中，使用了圓的相關知識，這是一個非常有趣的數形結合的應用。

但這些内容隻是開胃菜，我們來看一看函數中對數形結合的應用。

這是函數單調性引入部分，我們可以很容易看到教材的處理思路：繪制函數圖像，将函數直觀化——觀察圖像、找到特征——将特征代數化。

這是典型的數形結合思路。

比如我們看下面這道題目。

第（1）問的意思是一元二次方程無負根，求m的取值範圍。

方法有很多，但是我們用二次函數圖像解決起來會比較容易，抛開空集的情況，抛開與x軸相切的情況，我們直接畫圖。

顯然這個二次函數對稱軸固定不變：x=1，此時函數圖像必然與x軸右側有交點，也就是說二次方程必然有一個正根，隻需要左側交點不在原點左側就好了。

觀察到此時圖像與y軸交點需在x軸之上，所以常數項2m 4大于等于0即可。

數形結合的好處在于，我們可以根據題意将圖像畫出來，然後觀察圖像所具有的特征，此時觀察圖像找特征顯然比你憑空想象要方便，找到特征之後，再把該特征代數化——列不等式或方程，即可。

當然不僅僅是函數與方程，很多問題都可以使用數形結合思路，比如下面這道題目。

這是一道充要條件中的題目，與不等式相關。

我們如何數形結合呢？

比如我可以把滿足兩個條件的x，y看成是坐标，那麼對應的就是平面中的點，所有滿足條件的x，y對應的就應該是點構成的平面區域。

将這個問題轉化為平面區域之間的關系。

再比如二次方程根的分布問題，是典型的數形結合，可以轉化為二次函數圖像與x軸交點問題來解決，這已經可以說是固定套路，甚至總結出若幹種固定情況了。

以上這些呢，基本上算是以形助數，那麼以數補形體現在哪裡呢？

當然是兩個幾何——解析幾何與立體幾何。

解析幾何的基本思路就是将圖形放在坐标系中，将圖形用方程表示，通過研究方程來研究圖形。

怎麼樣？

看起來是不是特别眼熟，是不是和初中一些題目有些類似，當然還是有所區别。

至于立體幾何，則是在引入空間向量之後，基本上把原來的綜合證明全部轉化為代數計算了！

這是典型的以數補形思路。

相較于之前所說的數形結合在函數等方面的應用是戰術性的，那麼解析幾何與空間向量，則是戰略性的、思想性的大格局。

直接将幾何問題轉化為代數問題，而不是用代數來輔助。

尤其是立體幾何用空間向量之後，可以說使得學生擺脫了原來千回百轉的幾何證明，直達本質。

雖然這讓我的老手藝無從施展，但客觀的講是大勢所趨。

新的思路需要新的工具支持，這個工具就是——向量。

向量因為其兼顧了大小與方向，兼具了代數性與幾何性，導緻它是天生的打通數形之間的工具，在早些年剛剛進入高中數學教材時，題目難度較低，但是在經過一段時間的研究，向量的題目開始逐漸有特點起來，難度也逐步提升，屬于是很有潛力的命題點。

本身也是數形結合思想的一種體現。

通過本文大家可以發現，數形結合思想可以說貫穿了小初高數學學習的始終，越往上越是重要，它即使一種解題的方法、思路，又是一種思想、策略，通過将數與形互相補充、互相印證，一方面誕生了不少新的知識，另一方面也提供了一種思考問題、解決問題的渠道。

對于數形結合思想的培養，應該納入到我們家長的視野中去。

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