第一單元 圖形的變換

圖形變換的基本方式是平移、對稱和旋轉。

1、軸對稱:如果一個圖形沿着一條直線對折後兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸。

（1）學過的軸對稱平面圖形：長（正）方形、圓形、等腰三角形、等邊三角形、等腰梯形……

等腰三角形有1條對稱軸，

等邊三角形有3條對稱軸，

長方形有2條對稱軸，

正方形有4條對稱軸，

等腰梯形有1條對稱軸，

任意梯形和平行四邊形不是軸對稱圖形。

（2）圓有無數條對稱軸。

（3）對稱點到對稱軸的距離相等。

（4）軸對稱圖形的特征和性質：

①對應點到對稱軸的距離相等；

②對應點的連線與對稱軸垂直；

③對稱軸兩邊的圖形大小、形狀完全相同。

（5）對稱圖形包括軸對稱圖形和中心對稱圖形。平行四邊形（除棱形）屬于中心對稱圖形。

3、長方體、正方體有關棱長計算公式：

長方體的棱長總和=（長 寬 高）×4＝長×4 寬×4 高×4

L=（a＋b＋h）×4

長=棱長總和÷4－寬 －高

a=L÷4－b－h

寬=棱長總和÷4－長 －高

b=L÷4－a－h

高=棱長總和÷4－長 －寬

h=L÷4－a－b

正方體的棱長總和=棱長×12

L=a×12

正方體的棱長=棱長總和÷12

a=L÷12

4、長方體或正方體6個面和總面積叫做它的表面積。

長方體的表面積=（長×寬＋長×高＋寬×高）×2

S=2（ab＋ah＋bh）

無底（或無蓋）

長方體表面積= 長×寬＋（長×高＋寬×高）×2

S=2 （ab＋ah＋bh）－ab

S=2（ah＋bh）＋ab

無底又無蓋長方體表面積=（長×高＋寬×高）×2

S=2（ah＋bh）

貼牆紙

正方體的表面積=棱長×棱長×6 S=a×a×6 用字母表示：S= 6a²

生活實際：

油箱、罐頭盒等都是6個面

遊泳池、魚缸等都隻有5個面

水管、煙囪等都隻有4個面。

注意1：用刀分開物體時，每分一次增加兩個面。（表面積相應增加）

注意2：長方體或正方體的長、寬、高同時擴大幾倍，表面積會擴大倍數的平方倍。

（如長、寬、高各擴大2倍，表面積就會擴大到原來的4倍）。

5、物體所占空間的大小叫做物體的體積。

長方體的體積=長×寬×高 V=abh

長=體積÷寬÷高 a=V÷b÷h

寬=體積÷長÷高 b=V÷a÷h

高=體積÷長÷寬 h= V÷a÷b

正方體的體積=棱長×棱長×棱長

V=a×a×a = a³

讀作“a的立方”表示3個a相乘，（即a·a·a）

長方體或正方體底面的面積叫做底面積。

長方體（或正方體）的體積=底面積×高

用字母表示：V=S h（橫截面積相當于底面積，長相當于高）。

注意：一個長方體和一個正方體的棱長總和相等，但體積不一定相等。

6、箱子、油桶、倉庫等所能容納物體的體積，通常叫做他們的容積。

固體一般就用體積單位，計量液體的體積，如水、油等。

常用的容積單位有升和毫升也可以寫成L和ml。

1升=1立方分米

1毫升=1立方厘米

1升=1000毫升

(1L = 1dm³ 1ml = 1cm³)

長方體或正方體容器容積的計算方法，跟體積的計算方法相同。

但要從容器裡面量長、寬、高。（所以，對于同一個物體，體積大于容積。）

注意：長方體或正方體的長、寬、高同時擴大幾倍，體積就會擴大倍數的立方倍。

（如長、寬、高各擴大2倍，體積就會擴大到原來的8倍）。

*形狀不規則的物體可以用排水法求體積，形狀規則的物體可以用公式直接求體積。

排水法的公式：

V物體 =V現在－V原來

也可以 V物體 =S×(h現在- h原來)

V物體 =S×h升高

8、【體積單位換算】

大單位×進率=小單位

小單位÷進率=大單位

進率： 1 立方米 ＝ 1000 立方分米＝ 1000000 立方厘米（立方相鄰單位進率1000）

1立方分米＝1000立方厘米＝1升＝1000毫升

1 立方厘米＝ 1 毫升

1 平方米=100平方分米=10000平方厘米

1 平方千米 =100 公頃 =1000000 平方米

注意：長方體與正方體關系

把長方體或正方體截成若幹個小長方體（或正方體）後，表面積增加了，體積不變。

重量單位進率，時間單位進率，長度單位進率

大單位×進率=小單位

小單位÷進率=大單位

長度單位：

1千米 =1000 米 1 分米=10 厘米

1厘米=10毫米 1分米=100毫米

1米=10分米=100厘米=1000毫米

（相鄰單位進率10）

面積單位：

1平方千米=100公頃

1平方米=100平方分米

1平方分米=100平方厘米

1公頃=10000平方米（平方相鄰單位進率100）

質量單位：

1噸=1000千克

1千克=1000克　

人民币：

1元=10角 1角=10分 1元=100分

第四單元 分數的意義和性質

1、分數的意義：一個物體、一物體等都可以看作一個整體，把這個整體平均分成若幹份，這樣的一份或幾份都可以用分數來表示。

2、單位“1”：一個整體可以用自然數1來表示，通常把它叫做單位“1”。（也就是把什麼平均分什麼就是單位“1”。）

3、分數單位：把單位“1”平均分成若幹份，表示其中一份的數叫做分數單位。如4/5的分數單位是1/5。

4 、分數與除法

A÷B=A/B（B≠0，除數不能為0，分母也不能夠為0） 例如：4÷5=4/5

5、真分數和假分數、帶分數

1、真分數：分子比分母小的分數叫真分數。真分數<1。

2、假分數：分子比分母大或分子和分母相等的分數叫假分數。假分數≧1

3、帶分數：帶分數由整數和真分數組成的分數。帶分數＞1.

4、真分數＜1≤假分數

真分數＜1＜帶分數

6、假分數與整數、帶分數的互化

（1）假分數化為整數或帶分數，用分子÷分母，商作為整數，餘數作為分子， 如：

（2）整數化為假分數，用整數乘以分母得分子 如：

（3）帶分數化為假分數，用整數乘以分母加分子，得數就是假分數的分子，分母不變，如：

（4）1等于任何分子和分母相同的分數。如：

7 、分數的基本性質：

分數的分子和分母同時乘以或除以相同的數（0除外），分數的大小不變。

8、最簡分數：分數的分子和分母隻有公因數1，像這樣的分數叫做最簡分數。

一個最簡分數，如果分母中除了2和5以外，不含其他的質因數，就能夠化成有限小數。反之則不可以。

9、約分：把一個分數化成和它相等，但分子和分母都比較小的分數，叫做約分。

如：24/30=4/5

10、通分：把異分母分數分别化成和原來相等的同分母分數，叫做通分。

如： 2/5和1/4 可以化成8/20和5/20

11、分數和小數的互化

（1）小數化為分數：數小數位數。一位小數，分母是10；兩位小數，分母是100……

如：

0.3=3/10 0.03=3/100 0.003=3/1000

（2）分數化為小數：

方法一：把分數化為分母是10、100、1000……

如：3/10=0.3 3/5=6/10=0.6

1/4=25/100=0.25

方法二：用分子÷分母

如：3/4=3÷4=0.75

（3）帶分數化為小數：

先把整數後的分數化為小數，再加上整數

12、比分數的大小：

分母相同，分子大，分數就大；

分子相同，分母小，分數才大。

分數比較大小的一般方法：同分子比較；通分後比較；化成小數比較。

13、分數化簡包括兩步：一是約分；二是把假分數化成整數或帶分數。

1/2 = 0.5 1/4 = 0.25 3/4 = 0.75

1/5 = 0.2 2/5 = 0.4 3/5 = 0.6

4/5=0.8

1/8 =0.125 3/8 =0.375 5/8= 0.625 7/8 =0.875 1/20 =0.05 1/25 =0.04

14、兩個數互質的特殊判斷方法：

① 1和任何大于1的自然數互質。

② 2和任何奇數都是互質數。

③ 相鄰的兩個自然數是互質數。

④ 相鄰的兩個奇數互質。

⑤ 不相同的兩個質數互質。

⑥當一個數是合數，另一個數是質數時（除了合數是質數的倍數情況下），一般情況下這兩個數也都是互質數。

15、求最大公因數的方法：

① 倍數關系：最大公因數就是較小數。

② 互質關系：最大公因數就是1

③ 一般關系：從大到小看較小數的因數是否是較大數的因數。

16、分數知識圖解：

第五單元 分數的加減法

1、分數數的加法和減法

（1） 同分母分數加、減法 （分母不變，分子相加減）

（2） 異分母分數加、減法 （通分後再加減）

（3） 分數加減混合運算：同整數。

（4） 結果要是最簡分數

2、帶分數加減法:

帶分數相加減，整數部分和分數部分分别相加減，再把所得的結果合并起來。

附：具體解釋

（一）同分母分數加、減法

1、同分母分數加、減法：

同分母分數相加、減，分母不變，隻把分子相加減。

2、計算的結果，能約分的要約成最簡分數。

（二）異分母分數加、減法

1、分母不同，也就是分數單位不同，不能直接相加、減。

2、異分母分數的加減法：

異分母分數相加、減，要先通分，再按照同分母分數加減法的方法進行計算。

（三）分數加減混合運算

1、分數加減混合運算的運算順序與整數加減混合運算的順序相同。

在一個算式中，如果有括号，應先算括号裡面的，再算括号外面的；如果隻含有同一級運算，應從左到右依次計算。

2、整數加法的交換律、結合律對分數加法同樣适用。

第六單元 統計與數學廣角

1、衆數： 一組數據中出現次數最多的一個數或幾個數，就是這組數據的衆數。

衆數能夠反映一組數據的集中情況。

在一組數據中，衆數可能不止一個，也可能沒有衆數。

2、中位數：

（1）按大小排列；

（2 ）如果數據的個數是單數，那麼最中間的那個數就是中位數；

（3）如果數據的個數是雙數，那麼最中間的那 兩個數的平均數 就是中位數。

3、平均數的求法：

總數÷總份數=平均數

4、一組數據的一般水平：

（1）當一組數據中沒有偏大偏小的數，也沒有個别數據多次出現，用平均數表示一般水平。

（2）當一組數據中有偏大或偏小的數時，用中位數來表示一般水平。

（3）當一組數據中有個别數據多次出現，就用衆數來表示一般水平。

5、平均數、中位數和衆數的聯系與區别: ① 平均數： 一組數據的總和除以這組數據個數所得到的商叫這組數據的平均數。 容易受極端數據的影響，表示一組數據的平均情況。 ② 中位數： 将一組數據按大小順序排列，處在最中間位置的一個數叫做這組數據的中位數 。 它不受極端數據的影響，表示一組數據的一般情況。 ③ 衆數： 在一組數據中出現次數最多的數叫做這組數據的衆數。 它不受極端數據的影響，表示一組數據的集中情況。

5、統計圖：我們學過——條形統計圖、複式折線統計圖。

條形統計圖優點：條形統計圖能形象地反映出數量的多少。

折線統計圖優點：折線統計圖不僅能表示出數量的多少，還能反映出數量的變化情況。

注：① 畫圖時注意：

一“點”（描點）、 二“連”（連線）、三“标”（标數據）。

②要用不同的線段分别連接兩組數據中的數。

6、 打電話：

規律——人人不閑着，每人都在傳。（技巧：已知人數依次 × 2）

（1）逐個法：所需時間最多。

（2）分組法：相對節約時間。

（3）同時進行法：最節約時間

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