第一單元 小數除法

1.小數除法的意義：

與整數除法的意義相同，是已知兩個因數的積與其中一個因數，求兩個因

數的運算。

2.小數除法的計算法則：

（1）除數是整數：① 按照整數除法的法則去除；② 商的小數點要和被除

數的小數點對齊（重點！）

③ 每一位商都要寫在被除數相同數位的上面。④ 如果除到末尾仍有餘

數，在被除數的個位數的右邊點上小數點，再在被除數的後面添上"0"繼續除，

直到除盡為止。

⑤ 除得的商的哪一數位上不夠商，就在那一位上寫 0占位。

（2）除數是小數：

① 先看除數中有幾位小數，就把除數和被除數的小數點向右移動相同的

位置，使除數變成整數，當被除數數位不夠時，用 0 補足； ② 然後按照除

數是整數的小數除法計算。

3、商不變的規律：

被除數擴大 a 倍（或縮小），除數也擴大（或縮小）a 倍，商不變。簡言

之，被除數和除數同時擴大或者同時縮小相同的倍數，商不變。

4、被除數不變，除數擴大（或縮小）a倍，商縮小（或擴大）a倍。

被除數擴大（或縮小）a 倍，除數不變，商擴大（或縮小）a倍。

5、被除數比除數大的，商大于 1。 被除數比除數小的，商小于 1。

6、一個數（0 除外）除以 1，商等于原來的數。（一個數除以 1，還等于這

個數）

一個數（0 除外）除以大于 1 的數，商比原來的數小。一個數（0 除外）除以小

于 1的數，商比原來的數大。

0除以一個非零的數還得 0 。0不能作除數。

7、

漢語表達 A除以 B A 除 B A 去除 B A 被 B 除

列式 A÷B B÷A B÷A A÷B

8、近似值相關知識點：

（1）求商的近似值：計算時要比保留的小數多一位。

求積的近似值：計算出整個積的值後再去近似值。

（2）取商的近似值的方法："四舍五入"法、"進一法"和"去尾法"

在解決問題的時候，可以根據實際情況選擇"進一法"和"去尾法"

取商的近似值。

（3）保留商的近似值，小數末尾的 0不能去掉。

9、循環小數相關知識點：

（1）小數分類：可以分為無限小數和有限小數。小數部分的位數是有限的

小數，叫做有限小數。小數部分是無限的小數叫做無限小數。循環小數就是無

限小數中的一種。

（2）循環小數的定義：一個數的小數部分，從某一位起，一個數字或者幾

個數字依次不斷重複出現，這樣的小數叫做循環小數。

（3）循環小數必須滿足的條件：① 必須是無限小數；② 一個數字或者幾

個數字依次不斷重複出現。

（4）循環節的定義：一個循環小數的小數部分，依次不斷重複出現的一個

數字或者幾個數字，叫做這個循環小數的循環節。如 5.33……循環節是 3。

7.14545……的循環節是 45。

（5）循環小數的記法：① 省略後面的"……"号；② 在第一個循環節首

尾的數字上分别加點。如：5.33……=5.3（3 上面有一個點），讀作五點三，三

的循環 7.14545……=7.145（4 和 5 上面分别有一個點） ,讀作七點一四五，四

五的循環。

（6）循環小數一定是無限小數，無限小數不一定是循環小數。

10、豎式中的小數點和數位的對齊方式：在加法和減法中，必須小數點對齊；

在乘法中，要末尾對齊；在除法時，商的小數點要和被除數的小數點對齊。

11、除法性質：

a÷b÷c=a÷(b×c)

推廣： (a＋b)÷c=a÷c＋b÷c 或 (a－b)÷c=a÷c－b÷c

第二單元 軸對稱和平移

具體目标：

（1）圖形的平移①通過具體實例認識平移，探索它的基本性質，理解對應點連線平行且相

等的性質。

②能按要求作出簡單平面圖形平移後的圖形。

③利用平移進行圖案設計，認識和欣賞平移在現實生活中的應用。

（2）圖形的旋轉①通過具體實例認識旋轉，探索它的基本性質，理解對應點到旋轉中心的

距離相等、對應點與旋轉中心

連線所成的角彼此相等的性質。

②了解平行四邊形、圓是中心對稱圖形。

③能夠按要求作出簡單平面圖形旋轉後的圖形。

④欣賞旋轉在現實生活中的應用。

⑤探索圖形之間的變換關系(軸對稱、平移、旋轉及其組合)。⑥靈活運用軸對稱、平移和旋轉的組合進行圖案設計。

（3）圖形的軸對稱①通過具體實例認識軸對稱，探索它的基本性質，理解對應點所連的線段

被對稱軸垂直平分的性質。

②能夠按要求作出簡單平面圖形經過一次或兩次軸對稱後的圖形；探索簡

單圖形之間的軸對稱關系，并

能指出對稱軸。

③探索基本圖形（等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多邊形、圓）

的軸對稱性及其相關性質。

④欣賞現實生活中的軸對稱圖形，結合現實生活中典型實例了解并欣賞物

體的鏡面對稱，能利用軸對稱

進行圖案設計。

三、知識考點梳理

知識點一、平移

1、平移概念：把一個圖形整體沿一方向移動，得到一個新的圖形，圖形的這種移動，叫

做平移變換，簡稱平移。

2、平移變換的性質①對應線段平行（或共線）且相等；對應點所連結的線段平行且相等，因

為經過平移，圖形的每個點都

沿同一個方向移動了相同的距離，平移變換前後的兩條對應線段的四個

端點所圍成的四邊形為平行四

邊形（四點共線除外）.②對應角分别相等，且對應角的兩邊分别平行，方向一緻.③平移後的圖形與原圖形全等，因為平移隻改變圖形位置，不改變圖形的

形狀和大小.

3、平移作圖步驟①确定平移的方向和距離；

②根據對應點的連線平行（或在一條直線上）且相等作出圖形各關鍵點的

對應點；

③按原圖形的連結方式順次連結各點.知識點二、旋轉

1、旋轉概念：把一個圖形繞着某一點 O轉動一個角度的圖形變換叫做旋轉。點 O叫做旋

轉中心，轉動的角叫做旋轉角。

2、中心對稱與中心對稱圖形中心對稱：

把一個圖形繞着某一點旋轉 180°，它能夠與另一個圖形重合，那麼就說這兩個圖形關于這個點對稱或中心對稱，這個點叫做對稱中心，這兩個圖形中的

對應點叫做關于中心對稱的對稱點。

中心對稱圖形：

把一個圖形繞着某一點旋轉 180°，如果旋轉後的圖形能夠與原來的圖形重合，那麼這個圖形就叫中心對稱圖形.

3、旋轉變換的性質圖形通過旋轉，圖形中每一點都繞着旋轉中心沿相同的方向旋轉了同樣大

小的角度，任意一對對應點與旋轉中心的連線都是旋轉角，對應點到旋轉中心

的距離相等，對應線段相等，對應角相等，旋轉過程中，圖形的形狀、大小都

沒有發生變化.

4、旋轉作圖步驟①分析題目要求，找出旋轉中心，确定旋轉角.②分析所作圖形，找出構成圖形的關鍵點.③沿一定的方向，按一定的角度、旋轉各頂點和旋轉中心所連線段,從而作

出圖形中各關鍵點的對應點.④ 按原圖形連結方式順次連結各對應點.

5、中心對稱作圖步驟① 連結決定已知圖形的形狀、大小的各關鍵點與對稱中心，并且延長至 2

倍，得到各點的對稱點.② 按原圖形的連結方式順次連結對稱點即得所作圖形.

知識點三、軸對稱

1、軸對稱與軸對稱圖形軸對稱：

把一個圖形沿着某一條直線折疊，如果能夠與另一個圖形重合，那麼就說

這兩個圖形關于這條直線對稱，也叫做這兩個圖形成軸對稱，這條直線叫做對

稱軸，折疊後重合的對應點，叫做對稱點。

軸對稱圖形：把一個圖形沿着某一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相

重合，這個圖形叫做軸對稱圖形.

2、軸對稱變換的性質①關于直線對稱的兩個圖形是全等圖形.②如果兩個圖形關于某直線對稱，對稱軸是對應點連線的垂直平分線.③兩個圖形關于某直線對稱，如果它們對應線段或延長線相交，那麼交點

在對稱軸上.④如果兩個圖形的對應點連線被同一直線垂直平分，那麼這兩個圖形關于

這條直線對稱.

3、軸對稱作圖步驟①找出已知圖形的關鍵點，過關鍵點作對稱軸的垂線，并延長至 2 倍，得

到各點的對稱點。

②按原圖形的連結方式順次連結對稱點即得所作圖形.

綜上：

1、圖形變換與圖案設計的基本步驟①确定圖案的設計主題及要求；

②分析設計圖案所給定的基本圖案；

③利用平移、旋轉、軸對稱對基本圖案進行變換，實現由基本圖案到各部

分圖案的有機組合；

④對圖案進行修飾，完成圖案。

2、平移、旋轉和軸對稱之間的聯系一個圖形沿兩條平行直線翻折（軸對稱）兩次相當于一次平移，沿不平行

的兩條直線翻折兩次相當于一次旋轉，其旋轉角等于兩直線交角的 2倍.

第三單元 倍數與因數

1、整除：被除數、除數和商都是自然數，并且沒有餘數。

大數能被小數整除時，大數是小數的倍數，小數是大數的因數。

找因數的方法：

一個數的因數的個數是有限的，其中最小的因數是 1，最大的因數是它本身。

一個數的倍數的個數是無限的，最小的倍數是它本身。

2、自然數按能不能被 2整除來分：奇數、偶數

奇數：不能被 2整除的數。

偶數：能被 2整除的數。

最小的奇數是 1，最小的偶數是 0.

個位上是 0，2，4，6，8的數都是 2 的倍數。

個位上是 0 或 5的數，是 5 的倍數。

一個數各位上的數的和是 3 的倍數，這個數就是 3的倍數。

能同時被 2、3、5 整除的最大的兩位數是 90，最小的三位數是 120。

3、自然數按因數的個數來分：質數、合數

質數：有且隻有兩個因數，1 和它本身

合數：至少有三個因數，1、它本身、别的因數

1： 隻有 1個因數。"1"既不是質數，也不是合數。

最小的質數是 2，最小的合數是 4。

20 以内的質數：有 8個（2、3、5、7、11、13、17、19）

100 以内的質數：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、

43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97

4、分解質因數

用短除法分解質因數 （一個合數寫成幾個質數相乘的形式）

5、公因數、最大公因數

幾個數公有的因數叫這些數的公因數。其中最大的那個就叫它們的最大公

因數。

用短除法求兩個數或三個數的最大公因數 （除到互質為止，把所有的除

數連乘起來）

幾個數的公因數隻有 1，就說這幾個數互質。

兩數互質的特殊情況：

⑴1 和任何自然數互質；⑵相鄰兩個自然數互質； ⑶兩個質數一定互質；

⑷2和所有奇數互質； ⑸質數與比它小的合數互質；

如果兩數是倍數關系時，那麼較小的數就是它們的最大公因數。

如果兩數互質時，那麼 1就是它們的最大公因數。

6、公倍數、最小公倍數

幾個數公有的倍數叫這些數的公倍數。其中最小的那個就叫它們的最小公

倍數。

用短除法求兩個數的最小公倍數（除到互質為止，把所有的除數和商連乘

起來）

用短除法求三個數的最小公倍數（除到兩兩互質為止，把所有的除數和商連

乘起來）

如果兩數是倍數關系時，那麼較大的數就是它們的最小公倍數。

如果兩數互質時，那麼它們的積就是它們的最小公倍數。

7、因數和倍數的關系例如：2х6=12

2 和 6 是 12 的因數，12 是 2 和 6 的倍數。【知識點 1】因數與倍數之間的關系是相互的，不能單獨存在。隻能說誰

是誰的因數，誰是誰的倍數。不能說誰是因數，誰是倍數。例如：2.5х6=15

2.5 和 6 是 15 的因數，15是 2.5 和 6 的倍數。( ╳ )這句話是錯誤的。

【知識點 2】在研究因數和倍數的時候，我們所說的數指的是非 0的整數。（不包括小數、分數）

例如：36 的因數有（ ）。【知識點 3】确定一個數的所有因數，我們應該從 1 的乘法口訣依次找出。

如：1×36=36、2×18=36、3×12=36、4×9=36、6×6=36

因此 36的所有因數有：1、2、3、4、6、9、12、18、36。【知識點 4】重複的和相同的隻算一個因數。【知識點 5】一個數的因數的個數是有限的，

一個數的最小因數是 1，最大的因數是它本身。

例如：7的倍數（ ）。【知識點 6】确定一個數的倍數，同樣依據乘法口訣，

如：1×7=7、2×7=14、3×7=21、4×7=28、5×7=35……因此 7的倍數有：7、14、21、28、35、42……

【知識點 7】一個數的倍數的個數是無限的，最小的倍數是它本身，沒有最大的倍數。

【知識點 8】有前提條件的情況下确定倍數與因數

第四單元 多邊形的面積

1、長方形面積=長×寬 字母公式：s=ab

長方形周長=(長＋寬)×2 字母公式：c=(a＋

b)×2

（長=周長÷2-寬； 寬=周長÷2-長）

★長方形中面積、周長與長和寬之間的變化關系：

（1）長方形的長加寬等于長方形周長的一半。即 a b = c ÷ 2

（2）當長方形的周長不變時，長與寬的差越大，這個長方形的面積就越小；反

之，長與寬的差越小，這個長方形的面積就越大。

（3）當長方形的面積不變時，長與寬的差越大，這個長方形的周長就越長；長

與寬的差越小，這個長方形的周長就越短。

（4）長方形框架拉成平行四邊形，周長不變，面積變小。

2、正方形面積=邊長×邊長 字母公式：s= a²或者 s=a×a

正方形周長=邊長×4 字母公式：c=4a 或者 c=

a×4

3、平行四邊形面積=底×高 字母公式：s=ah

★平行四邊形面積公式的推導過程：剪拼、平移

沿着平行四邊形的任意一條高剪開，将其一部分平移與另一部分正好拼成

一個長方形，這個長方形的長就是平行四邊形的底，這個長方形的寬就是平行

四邊形的高。因為長方形的面積=長×寬，所以平行四邊形的面積=底×高，用

字母表示 S=a×h。

★等底等高的平行四邊形面積相等。

4、三角形面積=底× 高÷2 字母公式：s=ah÷2

（底=面積×2÷高； 高=面積×2÷底 ）

★三角形面積公式的推導過程： 旋轉、平移

将兩個完全一樣的三角形拼成一個平行四邊形，拼成的平行四邊形的底就

是三角形的底，拼成的平行四邊形的高就是三角形的高，拼成的平行四邊形的

面積是三角形面積的 2 倍。一個三角形的面積是這個平行四邊形的面積一半。

因為平行四邊形的面積等于底×高，所以三角形的面積等于底×高÷2。用字母

表示 S=a×h÷2。

★等底等高的三角形面積相等。

★等底等高的三角形和平行四邊形面積關系：等底等高的平行四邊形面積是三

角形面積的 2倍；等底等高的三角形面積是平行四邊形面積的一半。

5、梯形面積=(上底＋下底)×高÷2 字母公式：s=(a＋b)×h÷2

（上底=面積×2÷高－下底； 下底=面積×2÷高-上底； 高=面積×2÷（上

底 下底） ）

梯形面積公式的推導過程： 旋轉、平移

将兩個完全一樣的梯形拼成一個平行四邊形，這個平行四邊形的底等于梯

形的上底與下底的和，平行四邊形的高等于梯形的高，拼成的平行四邊形的面

積是每個梯形面積的 2 倍，每個梯形的面積是拼成的平行四邊形面積的一半。

因為平行四邊形的面積=底×高，所以梯形的面積=（上底＋下底）×高÷2 用

字母表示 S=（a＋b）×h÷2.

6、計算圓木、鋼管等的根數： (頂層根數 底層根數)×層數÷2

7、組合圖形：轉化成已學的簡單圖形，通過加、減進行計算。

8、有關規律：

★在平行四邊形裡畫一個最大的三角形，這個三角形的面積等于這個平行四邊

形面積的一半。

★用細木條釘成一個長方形框架，如果把他拉成一個平行四邊形，則它的周長

不變，面積變小了，因為底不變，高變小了；如果将平行四邊形框架拉成一個

長方形，則他們的周長不變，面積變大了。

★1 三角形和平行四邊形面積相等時，若高相等，則三角形的底是平行四邊形的

2倍，平行四邊形的底是三角形的一半。

★2 三角形和平行四邊形的面積相等時，若底相等，則三角形的高是平行四邊形

的 2倍，平行四邊形的高是三角形的一半。

★3 三角形和平行四邊形等底等高時，則三角形的面積是平行四邊形的一半，平

行四邊形的面積是三角形的 2倍。

★在直角三角形中，斜邊最長。

第五單元 分數的意義

分數的意義

1、分數的意義：

把單位"1"平均分成若幹份，表示這樣的一份或幾份的數，叫做分數。

2、分數單位：

把單位"1"平均分成若幹份，表示這樣的一份的數叫做分數單位。

3、分數與除法的關系：

除法中的被除數相當于分數的分子，除數相等于分母。

被除數÷除數 =除數

被除數用字母表示：a÷b=

ba（b≠0）。

4、分數未帶單位表示兩個量之間的倍數關系；分數帶有單位表示一個具體的數

量。

二、真分數和假分數

1、真分數和假分數：

① 分子比分母小的分數叫做真分數，真分數小于 1。

② 分子比分母大或分子和分母相等的分數叫做假分數，假分數大于1或等于1。

③ 由整數部分和分數部分組成的分數叫做帶分數。

2、假分數與帶分數的互化：

① 把假分數化成帶分數，用分子除以分母，所得商作整數部分，餘數作分子，

分母不變。

② 把帶分數化成假分數，用整數部分乘以分母加上分子作分子，分母不變。

三、分數的基本性質

1、分數的基本性質：

分數的分子和分母同時乘或除以相同的數（0除外），分數的大小不變，這

叫做分數的基本性質。

四、約分

1、最大公因數：

幾個數共有的因數叫做它們的公因數，其中最大的一個叫做最大公因數。

2、兩個數的公因數和它們最大公因數之間的關系：

所有的公因數都是最大公因數的因數，最大公因數是它們的倍數。

3、互質數：公因數隻有 1 的兩個數叫做互質數。

4、兩個數互質的特殊判斷方法：

① 1 和任何大于 1的自然數互質。

② 2 和任何奇數都是互質數。

③ 相鄰的兩個自然數是互質數。

④ 相鄰的兩個奇數互質。

⑤ 不相同的兩個質數互質。

⑥當一個數是合數，另一個數是質數時（除了合數是質數的倍數情況下），一

般情況下這兩個數也都是互質數。

5、求最大公因數的方法：

① 倍數關系： 最大公因數就是較小數。

② 互質關系： 最大公因數就是 1

③ 一般關系： 從大到小看較小數的因數是否是較大數的因數。

6、最簡分數：分子和分母隻有公因數 1 的分數叫做最簡分數。

7、約分：

把一個分數化成和它相等，但分子和分母都比較小的分數，叫做約分。

（并不是一定要把分數化成與它相等的最簡分數才叫約分；但一般要約到最簡

分數為止）

五、通分

1、最小公倍數：幾個數共有的倍數叫做它們的公倍數，其中最小的一個叫最小

公倍數。

2、兩個數的公倍數和它們的最小公倍數之間的關系：

幾個數的公倍數是它們最小公倍數的倍數。

3、通分：

把異分母分數分别化成和原來分數相等的同分母分數，叫做通分。

（通分時，公分母一般為幾個數的最小公倍數）。

4、求最小公倍數的方法：

① 倍數關系： 最小公倍數就是較大數。

② 互質關系： 最小公倍數就是它們的乘積。

③ 一般關系： 大數翻倍（從小到大看較大數的倍數是否是較小數的倍數）。

5、分數的大小比較：

① 同分母分數，分子大的分數就大，分子小的分數就小；

② 同分的分數，分母大的分數反而小，分母小的分數反而大。

③ 異分母分數，先化成同分母分數（分數單位相同），再進行比較。

6、約分和通分的依據都是分數的基本性質。

六、分數和小數的互化：

1、小數化分數：

一位小數表示十分之幾，兩位小數表示百分之幾，三位小數表示千分之

幾……，

去掉小數點作分子，能約分的必須約成最簡分數；

2、 分數化小數：

用分子除以分母，除不盡的按要求保留幾位小數。（一般保留兩位小數。）

3、判斷分數是否能化成有限小數的方法：

① 判斷分數是否是最簡分數；如果不是最簡分數，先把它化成最簡分數；

② 把分數的分母分解質因數:

如果分母中除了 2 和 5 以外，不含有其他質因數，這個分數就能化成有限

小數；

如果分母中含有 2 和 5 以外的質因數，這個分數就不能化成有限小數。

第六單元 組合圖形的面積

一、知識要點

組合圖形是由兩個或兩個以上的簡單的幾何圖形組合而成的。組合的形式分為

兩種：一是拼合組合，二是重疊組合。由于組合圖形具有條件相等的特點，往

往使得問題的解決無從下手。要正确解答組合圖形的面積，應該注意以下幾點：

1.切實掌握有關簡單圖形的概念、公式，牢固建立空間觀念；

2.仔細觀察，認真思考，看清所求圖形是由哪幾個基本圖形組合而成的；

3.适當采用增加輔助線等方法幫助解題；

4，采用割、補、分解、代換等方法，可将複雜問題變得簡單。

第七單元 可能性

1、确定事件和不确定事件(1 )、确定事件必然事件：生活中，有些事情我們事先能肯定它一定會發生，這些事情稱

為必然事件。

不可能事件：有些事情我們事先能肯定它一定不會發生，這些事情稱為不可

能事件。

(2)、不确定事件：有些事情我們事先無法肯定它會不會發生，這些事情稱為不确定事件

(3)、必然事件

确定事件

事件 不可能事件

不确定事件

2、不确定事件發生的可能性一般地，不确定事件發生的可能性是有大小的。

必然事件發生的可能性是 1不可能事件發生的可能性是 0

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