本文出自數學家阿哈羅尼（Ron Aharoni）《小學算術教什麼，怎麼教》一書。他用一些實例來告訴我們整數的由來以及發明“數”的意義。

上帝創造整數；餘皆人力所為。

——克羅内克

數為什麼是發明出來的？

我九歲的女兒喜歡在生日卡上寫：「給你很多、很多、很多……的愛」，幾乎塞滿半頁的「很多」。

也許幾千年前還沒發明數字的時候，就是用這種方法代替計數。穴居人不會說「3顆石頭」，而是說「石頭、石頭、石頭。」

為什麼要發明數字的理由現在就很清楚了：為求精簡！我女兒其實不必寫半頁「很多」，其實隻需寫「一百次那多的愛。」

不過我也得承認效果并非相同。

在三年級的某班上，我想讓小朋友了解使用數字會多省力，就講了一個故事給他們聽。不過我會先提醒他們：「我講的故事發生在某種東西還沒有發明的時候，你們要猜猜看那是什麼？」

穴居人出外打獵一整天，回到洞穴後對老婆說：「我帶回來兔子、兔子、兔子。」老婆回答說：「謝謝你、謝謝你丶謝謝你」

（來自書中插圖）

小朋友一下就猜對答案：那是發生在發明數字以前的事。現在我們會簡短的說「3隻兔子」，或「3個謝謝你」（更口語的說法是，多謝）。

有4隻免子時，講「兔子、兔子、兔子、兔子」不會有困難，但是想想看，如果穴居人帶回來的是100隻兔子！數字節省了許多氣力，它使用了數學精簡的三要素：表示法、推廣（4可以用來算兔子、鉛筆、汽車）、秩序——知道每類東西有幾個，提供了有關世界本質的訊息，也創造了某種秩序。

因為同類型的單位可以反複使用，所以才産生了數字1、2、3……。它們的發明是那麼樣的自然，因而稱為「自然數」。所有其他類型的數，像是分數，負數，實數、複數等等，都在更晚的時代才發明，而且因為與日常生活相去較遠，所以比較不那麼自然。

在本書中，單單出現「數」這個字時，指的就是自然數，也就是（正）整數。

為什麼數在數學裡扮演核心角色？

随便問一個路人：數學是什麼，答案恐怕都會包含「數」——數學在處理數字。專業數學家知道這樣說是不準确的，因為有些數學領域，例如幾何，并不直接處理數字。但是通俗的看法也包含了相當的真理：數在數學裡确實有特殊的角色，數幾乎出現在每一個數學領域裡，至少也會間接出現。為什麼這樣？

我們前面說過，數學把基本的思維過程抽象化。數之所以扮演如此核心的角色，是因為數是把所有過程裡最基本的部分抽象出來的結果：也就是從世界梳理出個别物件。人們認定世界的一部分，把它跟其餘部分分離當成獨立單元，再賦予名稱：例如「蘋果」、「椅子」、「家庭」，這就是字詞創造出來的過程，以及數字「1」的起源——「1顆蘋果」、「1張椅子」、「1個家庭」。把同類型單元加以重複，就産生了自然數：「2顆蘋果、3顆蘋果……」。

帶單位的數與純粹的數

「我本來打算有一個丈夫七個子女，但後來把數目搞颠倒了。」

——拉娜·透納

雖然拉娜·透納說明了數的重要性，然而最首要的其實是單位，也就是這個數是在計算什麼。

數的概念确實源自于帶着單位的數，也就是用來計數物件有多少。抽象的數誕生較遲，因為是後來才發現數的重要性質，例如四則運算的結果與單位的選取并不相幹：蘋果也好，椅子也好，2 3＝5總是對的。

所以人就實踐抽象了：從4顆蘋果與4張椅子的啟發，發明了「純粹」的數，也就是沒有單位的數字：4。純粹的數可以用來表達含有任何真實物質的命題。

這是導出抽象的具體例子，由此可知我們應該先教帶單位的數，再教純粹的數，換句話說，應該通過計數實際存在的東西來教學生數字概念。一年級生應該盡量多做計數，那是建立數字概念的唯一途徑，教室柽應該擺放鈕釦、彈珠、冰棒棍，吸管，而且計數的時候，一定要同時說出單位，回答「我們有幾枝鉛筆時？」，不要隻說「4」，應該說「4枝鉛筆」。

教單位的第一課

以下的内容是對于進行單位的第一課時該怎麼教的建議。先警告班上同學，你要給奇怪的指令，等到抓住他們的注意力之後，就要求一位小朋友：「給我2」。在接下去的讨論，你會教導小朋友在你說「2」時，一定要說「2個什麼」。

集合

第一個算術運算既不是加法也不是減法，而是會生出數字的運算——也就是定義單位。

換句話說，就是把一個物質從世界中分離，賦予名字，再定義成為「單位」，從此單位就能重複使用。

事實上，定義出單位是比數的發明還更基本的操作，也可以用來建立其他數學概念，特别是建立集合的概念，而集合是僅次于數的最重要數學概念。集合的概念是從發現若幹東西放在一起能形成新單位而來的，這個新單位就叫做「集合」。幾個人放在一起成為「家」的集合，5位球員放在一起組成籃球隊的集合。

這項操作在數的十進位系統裡最為顯著。十個個體組織起來成為新單位叫「十」，十個「十」可以用來創造另一個單位叫「百」。

順序

數不僅用來計數東西，也可用來把東西排序：「第一，第二，第三……」數目之間可以比大小，然後按照大小排序。當數目a小于數目b，我們寫成：a＜b。例如，3＜5。有些小朋友覺得不容易記住符号的方向，所以大部分教科書會教記憶法：在符号「＜」有大開口的那邊寫大的數目。符号「＜」隻用在純粹的數之間，我們不會寫「3顆蘋果＜5顆蘋果」，因為在一年級使用數目時都帶着單位，所以最好用「更多」與「更少」，或更正式一點的「大于」與「小于」，而把符号「＜」留到二年級再用。

有一項基本工具可以幫助孩子想象數的順序，它的名稱是「數線」，就是在一條直線上，按照相等距離标示出數字。這是用來表示純粹數之間的順序，所以也應該延遲到二年級才學習。一年級生還在計數階段，等距離标示、數與直線相連、把數跟點當做同樣東西等等，對一年級生都嫌太抽象了。

（來自書中插圖）

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